Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 291234567891011121314151617181920212223242526272830

Enunciado

USP, São Carlos, Calculo 2, Listas de C2 - Grupo Coordenado 2022 - Lista 3 - Módulo 3, Questão 18f

18. Verificar se os limites abaixo existem. Justifique sua resposta.

(f) lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 x 2 + y - 2 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos saber se o limite lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 x 2 + y - 2 4 existe ou não...

Lembra como fazemos isso? 👀

O limite de uma função nada mais é que o valor que a função tende a assumir quando se aproxima de um determinado ponto.

Nesse caso podemos parametrizar nossa função em coordenadas polares para tentar facilitar nossas análises.

Dessa forma fazemos x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ e também r → 0 .

Parece complicado? Veja só! 😬

Passo 2

Se a função f x , y é dada por

f x , y = y - 2 x 2 + y - 2 4

Para fazer r tender a 0 , temos que fazer y - 2 =   r sin ⁡ θ para compensar o deslocamento nesse eixo...

f r , θ = r sin ⁡ θ r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 4

f r , θ = r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 4 sin 4 ⁡ θ

Podemos reescrever o denominador como

f r , θ = r sin ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ

f r , θ = r sin ⁡ θ r cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ

Simplificando...

f r , θ = sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Calculando o limite dessa “nova” função, temos

lim x , y → 0,2 ⁡ y - 2 x 2 + y - 2 4 → lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ

Fazendo r = 0

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ = sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 0 2 sin 4 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ = sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ

Pelas propriedades trigonométricas, sabemos que sin ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ , logo

lim r → 0 ⁡ sin ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 4 ⁡ θ = tan ⁡ θ

Perceba que o resultado depende do ângulo de aproximação que usamos, portanto o limite diverge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Diverge

Exercícios de Livros Relacionados

29 – 36 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.34 -fx ,y = x y 2 , D = x , yx ≥ 0 ,y ≥ 0 ,x 2 + y 2 ≤ 3 }
Calcular os limites seguintes:a) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) (e^(x y) - e^y + 1)
Calcular os limites seguintes:h) underset([[x - 1],[y - 2]])(lim) ln [(x y - 1)/(2 x y + 4)]
Calcular os seguintes limites de funções compostas:b) lim x → + ∞ y → + ∞ ⁡ e 1 x + y
Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1