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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Calcule o limite abaixo

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y .

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = e 1 1 - 1 2 + 0 2 . 1 - 1 2 + 0 2 = e 1 0 . 0 = e ∞ . 0 = ∞ . 0

Temos uma indeterminação. Repara que temos uma função se repetindo ali no limite, no caso essa função é x - 1 2 + y 2 . Podemos usar a mudança de variáveis

u = x - 1 2 + y 2

Além disso

x , y → 1,0 ⇒ u → 1 - 1 2 + 0 2 = 0

Então

u → 0

Esse limite vai ficar

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Agora temos um limite onde podemos usar regra de L’hospital.

Passo 2

Temos que resolver

lim u → 0 ⁡ e 1 u . u

Já vimos que dá uma indeterminação do tipo ∞ . 0 então vamos usar L’hospital

lim u → 0 ⁡ e 1 u . u = lim u → 0 ⁡ e u - 1 u - 1 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 . - u - 2 - u - 2 = lim u → 0 ⁡ e u - 1 = e 1 0 = ∞

Isso nos diz que

lim x , y → 1,0 ⁡ e 1 x - 1 2 + y 2 . x - 1 2 + y 2 = ∞

Logo ele não existe.

Resposta

Não existe

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Calcular os seguintes limites de funções compostas:d) lim x → 4 y → 2 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 x - y + 1