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Exercícios Resolvidos de Limite com Mudança de Variável para Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Provas de Cálculo 2 - Profº Filipe Iorio - P1 2023.1, Questão 2a

2) Considere as funções g x , y = x y 4 x 2 + y 8 , h x , y = x y - 1 2 + x - 1 2 y - 1 2 + x - 1 2 e f x , y = g x , y + h x , y .

a. Determine se existe o limite lim x , y → 0,0 ⁡ g x , y . Justifique.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função g x , y = x y 4 x 2 + y 8 e nosso objetivo é determinar se o limite de g x , y existe ou não.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Para calcular esse limite podemos fazer uma mudança de variáveis para coordenadas polares...

Para fazer essa transformação temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ , e calcular o limite para r tendendo a 0 .

Dessa forma nosso problema de duas variáveis se transforma em apenas uma variável.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Fazendo essa mudança de variáveis, temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 → lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 4 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 8

lim r → 0 ⁡ r 5 cos ��� θ sin 4 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 8 sin 8 ⁡ θ

Colocando r 2 em evidência no denominador, temos

lim r → 0 ⁡ r 5 cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 6 sin 8 ⁡ θ

Simplificando r ...

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 6 sin 8 ⁡ θ

Com r tendendo a 0 , temos

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 6 sin 8 ⁡ θ = 0 3 cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + 0 6 sin 8 ⁡ θ

lim r → 0 ⁡ r 3 cos ⁡ θ sin 4 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ + r 6 sin 8 ⁡ θ = 0 cos 2 ⁡ θ = 0

Portanto, vemos que

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 = 0

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x , y → 0,0 ⁡ x y 4 x 2 + y 8 = 0

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