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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.2, questão Discursiva 1

Um barco a vela de massa m = 1 parte do cais com velocidade inicial de 11   k m / h em direção à uma ilha distante 6   k m . O barco é impulsionado pela força do vento f t = e - 3 t e sofre uma resistência da água proporcional à sua velocidade com constante de resistência igual a 2.

a Determine a velocidade do barco em qualquer instante.

b O barco chegará à ilha? Justifique sua resposta.

Passo 1

a Vamos escrever as equações referentes ao nosso problema: x ' t = v t v ' t = a t = x ' ' t

A segunda lei de Newton nos trará a equação: F t = f t - 2 v = m a e - 3 t - 2 v = v ' t v ' t + 2 v t = e - 3 t

v 0 = 11 x 0 = 0

Passo 2

Vamos resolver a EDO que apareceu para a gente, para isso vamos achar o fator integrante:

A t = 2

B t = e - 3 t

I t = e ∫ 2 d t I t = e 2 t

Agora calculamos a integral sem a constante:

∫ I x ⋅ B x d x

∫ e - t d x = - e - t

Passo 3

A solução é:

v t = 1 I t ∫ I t ⋅ B t d x + C

v t = e - 2 t - e - t + C = - e - 3 t + C e - 2 t

Como v 0 = 11

v 0 = - 1 + C = 11 C = 12 v t = 12 e - 2 t - e - 3 t

Passo 4

b Sabemos que:

v t = 12 e - 2 t - e - 3 t

Integrando: x t = ∫ ( 12 e - 2 t - e - 3 t ) d t = - 6 e - 2 t + e - 3 t 3 + C 1

Como x 0 = 0

x 0 = - 6 + 1 3 + C 1 = 0 C 1 = 17 3

Logo temos que

x t = - 6 e - 2 t + e - 3 t 3 + 17 3

Passo 5

Queremos saber se em algum momento x t = 6 . Para isso vamos determinar o valor máximo de x :

d x d t = 0 → v t = 0 12 e - 2 t - e - 3 t = 0 12 e t = 1 e t = 1 12

Além disso, pelo teste da segunda derivada

d 2 x d t 2 = - 24 e - 2 t + 3 e - 3 t d 2 x d t 2 = - 24 12 2 + 3 12 3 = 1728 > 0

Logo, acabamos de encontrar o valor mínimo de x . Para encontrar o valor máximo, devemos encontrar o limite a seguir:

lim t → ∞   ⁡ x t = l i m t → ∞   - 6 e - 2 t + e - 3 t 3 + 17 3 = 17 3 < 6 Como

lim t → ∞   ⁡ x t < 6

Então, o barco não irá chegar à ilha.

Resposta

a   v t = 12 e - 2 t - e - 3 t

b O barco nunca chegará à ilha, pois x m a x < 6

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