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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Fator Integrante

Um tanque possui 10 litros de solução com cloro numa concentração de 4   mg / L . Se adicionamos água ao tanque por uma mangueira numa taxa de 1 L / min contendo 1   mg / L de cloro e a solução homogênea sai do tanque por um orifício em sua base com vazão de 2   L / min , determine:

  1. O volume da solução homogênea no tanque no instante t
  2. A quantidade de cloro no tanque no instante t

Passo 1

Definições:

Chamemos Q ( t ) a quantidade (em mg ) de cloro no tanque no tempo t

Chamemos V ( t ) o volume total do tanque no tempo t

fluxo de entrada = 1   L / min

fluxo de saída = 2   L / min

concentração de entrada = 1   mg / L

Passo 2

Condições iniciais:

V 0 = 10   L

Como a concentração de cloro é 4   mg / L , temos que a quantidade Q ( 0 ) é dada pela concentração multiplicada pelo volume:

Q 0 = 4 ⋅ V 0 = 40   mg

Passo 3

Verificar V ( t ) :

fluxo de entrada ≠ fluxo de saída

⇒ V ' t = fluxo de entrada - fluxo de saída

⇒ V ' t = 1 - 2

⇒ V ' t = - 1

Passo 4

Encontrar V t :

V ' t = - 1

⇒ V t = - t + c

Condição inicial:

V 0 = 10

⇒ c = 10

⇒ V t = - t + 10

Passo 5

Modelagem:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

Calculemos a taxa de entrada:

taxa de entrada = fluxo de entrada ⋅ concentração de entrada

taxa de entrada = ( 1   L / min ) ⋅ ( 1   mg / L )

⇒ taxa de entrada = 1   mg / min

Calculemos a taxa de saída:

taxa de saída = fluxo de saída ⋅   Q t V t

taxa de saída = ( 2 L / min   ) ⋅ Q t - t + 10

Substituindo na equação:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

⇒ Q ' t = 1 - 2 Q ( t ) - t + 10

⇒ Q ' t + 2 Q ( t ) - t + 10 = 1

Logo:

Q ' t + 2 Q ( t ) - t + 10 = 1 Q 0 = 40

Passo 6

Encontrar A ( t ) e B ( t ) :

Comparando as duas equações:

Q ' t + A t ⋅ Q t = B ( t ) Q ' t + 2 - t + 10 ⋅ Q t = 1

⇒ A t = 2 - t + 10 B t = 1

Passo 7

Calcular a integral ∫ A t d t sem adicionar a constante:

∫ A t   d t = ∫ 2 - t + 10   d t = 2 ∫ d t - t + 10

Vamos resolver essa integral fazendo uma substituição

u = - t + 10

d u = - d t → d t = - d u

Fazendo a substituição na integral vamos ter

∫ d t - t + 10 = ∫ - d u u

Vamos resolver essa integral agora

∫ - d u u = - ln ⁡ u

Voltando para t vamos ter

- ln ⁡ u = - ln ⁡ - t + 10

∫ d t - t + 10 = - ln ⁡ - t + 10

Assim vamos ter

⇒ ∫ A t   d t = - 2 ln ⁡ - t + 10

Como só nos interessa t > 0 , temos que

- t + 10 > 0

t < 10

Portanto:

- t + 10 = - t + 10

⇒ ∫ A t   d t = - 2 ln ⁡ ( - t + 10 )

Passo 8

Calcular fator integrante:

I t = e ∫ A t   d t = e - 2 ln ⁡ ( - t + 10 )

Para tirar o logaritmo da exponencial, usamos a igualdade:

- 2 ln ⁡ ( - t + 10 ) = ln ⁡ ( - t + 10 - 2 )

Logo:

e - 2 ln ⁡ ( - t + 10 ) = e ln ⁡ - t + 10 - 2 = - t + 10 - 2

⇒ I t = - t + 10 - 2

Passo 9

Calcular a integral ∫ I t ⋅ B t d t sem adicionar a constante:

∫ I t ⋅ B t d t = ∫ - t + 10 - 2 ⋅ 1 d t

∫ - t + 10 - 2 d t = - t + 10 - 1

Logo:

∫ I t ⋅ B ( t ) d t = - t + 10 - 1

Passo 10

Encontrar a solução:

Q t = 1 - t + 10 - 2 ⋅ - t + 10 - 1 + c

⇒ Q t = - t + 10 + c - t + 10 2

Passo 11

Encontrar solução particular caso seja um PVI:

Q 0 = 40

Substituindo t = 0 na solução geral:

⇒ Q 0 = - 0 + 10 + c - 0 + 10 2

⇒ Q 0 = 10 + 100 c

Substituindo na condição inicial:

Q 0 = 40

⇒ 10 + 100 c = 40

⇒ 100 c = 30

⇒ c = 0,3

Substituindo a constante na solução geral:

Q t = - t + 10 + 0,3 - t + 10 2

Resposta

  1. V t = - t + 10

Q t = - t + 10 + 0,3 - t + 10 2

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