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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 3b

Um tanque de 50 litros de capacidade contém inicialmente 10 litros de água. Quando

t   =   0 , adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 1 g r   de sal por litro, a razão de

  1. litros por minuto, enquanto a mistura escoa a razão de 2 litros por minuto. Determine:

b) A quantidade de sal presente no tanque por ocasião do transbordamento

Passo 1

Oi, tudo bem? Agora queremos saber a quantidade de sal presente no tanque! Bom, podemos modelar da seguinte forma

d Q d t = Q e - Q s

Aqui Q e é quantidade de sal que entra e Q s a quantidade de sal que sai. No nosso caso

Q e = 1 g r L . 4 L m i n = 4 g r m i n

E sai

Q s = 1 L m i n . Q 10 + 4 - 2 t

Onde Q é a quantidade de sal, e 10 + 4 - 2 t é o acréscimo de volume

Beleza?

Assim nossa equação fica

d Q d t = 4 - Q 10 - 2 t

d Q d t + Q 10 - 2 t = 4

Ela é do tipo

d y d x + P x y = Q ( x )

E resolvemos por fator integrante! Nosso fator

μ = e ∫ P ( x ) d x

E a solução

y μ = ∫ Q x . μ d x

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar identificando os coeficientes

d Q d t + Q 10 - 2 t = 4

P x = 1 10 - 2 t

Assim o fator integrando fica

μ = e ∫ 1 10 - 2 t d t = e - 1 2 ln ⁡ 10 - 2 t

= e ln ⁡ 10 - 2 t - 1 / 2 = 10 - 2 t - 1 / 2

Beleza?

Passo 3

Agora é partir pra solução!

y μ = ∫ Q x . μ d x

Olhando para nossa equação Q x = 4 aí temos

y . 10 - 2 t - 1 2 = 4 ∫ 1 10 - 2 t d t

y . 10 - 2 t - 1 2 = 4 . - 10 - 2 t + C

Como no instante inicial não tínhamos sal no tanque C = 0 , aí a quantidade de sal ao longo do tempo é y → Q

Q = - 4 10 - 2 t

Ele transborda em t = 20 m i n , então

Q = - 4 10 - 2.20 = 120 g r

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

x 2 - x + 4 x + C

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