Resolva o problema de valor inicial

y' + 2y = t * e^(-2t)

y(1) = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc1. Nosso objetivo é calcular a solução do problema do valor inicial

y ' + 2 y = t e - 2 t

y ( 1 ) = 0

Vamos lembrar como fazemos. A solução geral de um equação diferencial da forma

y ' + p ( t ) y = q ( t )

é dada por

y ( t ) = ∫ u ( t ) q ( t ) d t + C u ( t )

Onde u ( x ) é o chamado fator integrante e é definido como:

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

Passo 2

Nossa equação é

y ' + 2 y = t e - 2 t

y ( 1 ) = 0

Então, temos que

p ( t ) =   2

q ( t ) =   t e - 2 t

Logo

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

= e ∫ 2 d t

= e 2 t

Passo 3

Agora, vamos calcular

∫ u ( t ) q ( t ) d t

= ∫ e 2 t t e - 2 t d t

= ∫ t d t

Integrando

= t 2 / 2

Logo, nossa solução geral é:

y ( t ) = t 2 / 2 + C e 2 t

Passo 4

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial, temos que

y ( 1 ) = 0

Logo:

y ( 1 ) = 1 / 2 + C e 2 = 0

⇒ C = - 1 / 2

Ou seja, a solução do PVI é

y ( t ) = t 2 / 2 - 1 / 2 e 2 t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y ( t ) = t 2 / 2 - 1 / 2 e 2 t

Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados