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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Considere um tanque que possui 1000 litros de água pura. Suponha que ele comece a receber produtos químicos, completamente diluídos em água, a uma taxa de 200 litros por hora, e que a concentração desses produtos na água que ali está entrando varia periodicamente com o tempo t (medido em horas), de acordo com a fórmula

f t = 5 + sen ⁡ t 100 quilogramas por litro

A solução então é misturada completamente e sai do tanque também à taxa de 200 litros por hora. Determine a quantidade de produtos químicos (em quilogramas) que permanece no tanque após t horas.

Lembrete:

∫ e a t sen ⁡ t d t = 1 a 2 + 1 e a t a sen ⁡ t - cos ⁡ t + C ,   C ∈ R   , a ≠ 0

Passo 1

Definições:

Q ( t ) – quantidade (em quilogramas) de produtos químicos no tanque no tempo t

V ( t ) – volume total da solução

fluxo de entrada = 200   l / h

fluxo de saída = 200   l / h

concentração de entrada = f t = 5 + sen ⁡ t 100

Passo 2

Condições iniciais:

V 0 = 1000   l

Q 0 = 0 (água pura inicialmente)

Passo 3

Verificar V ( t ) :

fluxo de entrada = fluxo de saída

Então o volume é constante:

V t = V 0 = 1000

Passo 4

Modelagem:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

Calculemos a taxa de entrada:

taxa de entrada = fluxo de entrada ⋅ concentração de entrada

taxa de entrada = ( 200   l / h ) ⋅ 5 + sen ⁡ t 100   kg / l    

⇒ taxa de entrada = 2 5 + sen ⁡ t   kg / h

Calculemos a taxa de saída:

taxa de saída = fluxo de saída ⋅   Q t V t

taxa de saída = ( 200   l / h ) ⋅ Q t 1000   kg / l

⇒ taxa de saída = Q t 5 kg / h

Substituindo na equação:

Q ' t = taxa de entrada - taxa de saída

⇒ Q ' t = 2 5 + sen ⁡ t - Q t 5

⇒ Q ' t + 1 5 Q ( t ) = 2 5 + sen ⁡ t

Logo:

Q ' t + 1 5 Q t = 2 5 + sen ⁡ t Q 0 = 0

Passo 5

Colocar a equação na forma Q ' t + A t ⋅ Q t = B ( t ) :

Já está! Vamos ao próximo passo!

Passo 6

Encontrar A ( t ) e B ( t ) :

Comparando as duas equações:

Q ' t + A t ⋅ Q t = B ( t ) Q ' t + 1 5 ⋅ Q t = 10 + 2 sen ⁡ t

⇒ A t = 1 5 B t = 10 + 2 sen ⁡ t

Passo 7

Calcular a integral ∫ A t   d t sem adicionar a constante:

∫ A t   d t = ∫ 1 5 d t

∫ 1 5 d t = t 5

⇒ ∫ A t   d t = t 5

Passo 8

Calcular fator integrante:

I t = e ∫ A t   d t = e t 5

⇒ I t = e t 5

Passo 9

Calcular a integral ∫ I t ⋅ B t   d t sem adicionar a constante:

∫ I t ⋅ B t d t = ∫ e t 5 ⋅ 10 + 2 sen ⁡ t   d t

∫ e t 5 ( 10 + 2 sen ⁡ t ) d t = 10 ∫ e t 5   d t + 2 ∫ e t 5 sen ⁡ t d t

Calculando a primeira integral:

∫ e t 5   d t = 5 e t 5

Calculando a segunda integral:

∫ e t 5 sen ⁡ t d t

Vamos usar o lembrete que o enunciado forneceu:

∫ e a t sen ⁡ t d t = 1 a 2 + 1 e a t a sen ⁡ t - cos ⁡ t + C

Substituindo a = 1 5 e lembrando que não adicionamos a constante:

⇒ ∫ e 1 5 t sen ⁡ t d t = 1 1 5 2 + 1 e 1 5 t 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

⇒ ∫ e 1 5 t sen ⁡ t d t = 1 1 25 + 1 e t 5 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

⇒ ∫ e 1 5 t sen ⁡ t d t = 25 26 e t 5 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

Ufa! Agora é só substituir a primeira e segunda integral que calculamos:

∫ e t 5 ( 10 + 2 sen ⁡ t ) d t = 10 ∫ e t 5 d t + 2 ∫ e t 5 sen ⁡ t d t

⇒ ∫ e t 5 10 + 2 sen ⁡ t d t = 10 ⋅ 5 e t 5 + 2 ⋅ 25 26 e t 5 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

⇒ ∫ e t 5 10 + 2 sen ⁡ t d t = e t 5 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

Pronto! Então:

∫ I t ⋅ B ( t ) d t = e t 5 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t

Passo 10

Encontrar a solução:

Q t = 1 e t 5 ⋅ e t 5 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t + c

⇒ Q t = 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t + c e - t 5

Passo 11

Encontrar solução particular caso seja um PVI:

Q 0 = 0

Substituindo t = 0 na solução geral:

Q 0 = 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 + c e - 0 5

⇒ Q 0 = 50 + 25 13 0 - 1 + c ⋅ 1

⇒ Q 0 = 50 - 25 13 + c

Substituindo na condição inicial:

Q 0 = 0

⇒ 50 - 25 13 + c = 0

⇒ c = 25 13 - 50

Fazendo uma continha:

c = 25 - 50 ⋅ 13 13

⇒ c = - 625 13

Substituindo a constante na solução geral:

Q t = 50 + 25 13 1 5 sen ⁡ t - cos ⁡ t - 625 13 e - t 5

⇒ Q t = 50 + 5 13 sen ⁡ t - 25 13 cos ⁡ t - 625 13 e - t 5

Resposta

Q t = 50 + 5 13 sen ⁡ t - 25 13 cos ⁡ t - 625 13 e - t 5

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