Cálculo Aplicado – 2ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Considere o Problema de Valor Inicial (PVI)
- Encontre a solução do PVI, dada de forma implícita.
Passo 1
Opa! Sabemos que essa EDO não é exata, beleza? O que a gente vai fazer agora é multiplicar essa equação pelo fator integrante (que a gente calculou no item dessa questão) e tornar essa equação exata.
Multiplicando a EDO pelo fator integrante , temos:
Que é uma EDO exata agora! Para resolver essa EDO primeiro vamos usar que ela tem essa cara
Onde temos, agora
E sabemos que em uma equação exata, a solução é dada por onde a gente vai ter que usar uma técnica aqui para encontrar e a gente encontra pelo valor inicial que o problema nos deu . Vamos lá!
Passo 2
Para encontrar a gente primeiro integra o nosso em relação a x
Separando em duas integrais
A primeira dessas integrais a gente trata aquele como constante e a segunda a gente observa que é a derivada de e usa o método da substituição simples. Fazendo isso nós temos
Neste passo a gente tem que acrescentar uma constante de integração que pode depender de . Então temos
Passo 3
Para a gente encontrar esse a gente deriva o resultado anterior em relação a e iguala a . Derivando o que a gente encontrou temos
Como isso tem que ser igual ao nosso , temos
Como vemos que . Para encontrar o a gente integra esse resultado
Com isso, temos por fim que
Passo 4
A função que a gente precisa encontrar é exatamente a integral que a gente já fez
Como já falamos, a solução de uma EDO exata é dada por
Ou seja:
Resta a gente encontrar o valor de . Para isso, usamos que
Então, na nossa equação temos:
E finalmente temos a nossa equação solução da EDO:
Podemos manipular um pouco essa equação para obter uma expressão melhor passando a exponencial para o outro lado da igualdade
Exponenciando dos dois lados temos
Usando que temos
Vamos para a próxima?