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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Um tanque inicialmente contém 100 L   de água pura. No instante   t , é introduzida no tanque água salgada com uma concentração de 0,2   K g / L a uma velocidade de 2 L / m i n , e a mistura homogênea sai do tanque a uma velocidade de 2 L / m i n . Se y ( t )   é a quatidade em K g , de sal no tanque após t minutos, quanto vale lim t → ∞ ⁡ y ( t ) ?

  1. 40
  2. 20
  3. Este limite não existe
  4. 10
  5. ∞

Passo 1

Identificando as variáveis desse clássico problemas envolvendo mistura de soluções em tanques...

Fluxo de entrada 2 L / m i n

Fluxo de saída 2 L / m i n

Concentração de entrada 0,2   K g / L

Variáveis importantes: v ( t ) ( volume no tempo) e y ( t ) (quantidade de sal em   K g no tanque com o tempo)

Passo 2

Condições iniciais:

Y ( 0 ) = 0 - quantidade de sal inicialmente

V ( 0 ) = 100 L - volume inicial

Passo 3

Primeiro, vamos ver como se comporta o volume no tempo: v ( t )

Variação de volume no tempo = Fluxo entrada - Fluxosaída

Y ’   ( t ) =   2 L / m i n   -   2 L / m i n   =   0  

Logo, não há acumulação de volume: v ( t ) = V 0 = 100 L = c t e

Passo 4

Agora definimos a variação da quantidade de sal no tanque com o tempo

Variação da quantidade de soluto = taxa entrada – taxa saída

Lembra que taxa de entrada é o produto: (fluxo) X (concentração)

  y ' t =   2   X   0,2   –   2   X   y t v ( t ) = 0,4 - 2 y t 100  

Reorganizando esta equação obtemos uma linda EDO linear!

y ' t + y t 50 = 0,4

A ( t )   =   1 50    

  B ( t )   = 0,4

Vamos usar a receitinha de bolo da EDO linear para atingir a solução

Passo 5

Calcule a integral

∫ A t d t = 1 50 ∫ d t = 1 50 t  

Passo 6

Calcule o fator integrante

I t = e ∫ A t d t = e 1 50 t

Passo 7

Calcule a integral

∫ I t B ( t ) d t = ∫ e 1 50 t ( 0,4 ) d t = 0,4 ∫ e 1 50 t d t = 20   e 1 50 t

Passo 8

Aplicando as integrais nesta solução

y t = 1 I t ∫ I t B t d t + C  

y t = 1 e 1 50 t   20   e 1 50 t + C

Passo 9

Resolvendo o PVI

    y 0 = 0

y 0 = 20 + C = 0 ∴ C = - 20

y t = 1 e 1 50 t   20   e 1 50 t - 20 =   20 1 - e - 1 50 t =

Passo 10

Calculando o que se pede...

lim t → ∞ ⁡ 20 1 - e - 1 50 t =   20  

Resposta

( b )   20  

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