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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Exercícios de C2 - UnB MAT - Lista 8 - Eqs. Lineares e Método dos Fatores Integrantes, Questão 1f

Resolva o problema de valor inicial

t y ' + 2 y = s i n ( t )

y ( π / 2 ) = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc1. Nosso objetivo é calcular a solução do problema do valor inicial

t y ' + 2 y = s i n ( t )

y ( π / 2 ) = 1

Vamos lembrar como fazemos. A solução geral de um equação diferencial da forma

y ' + p ( t ) y = q ( t )

é dada por

y ( t ) = ∫ u ( t ) q ( t ) d t + C u ( t )

Onde u ( x ) é o chamado fator integrante e é definido como:

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

Passo 2

Nossa equação é

t y ' + 2 y = s i n ( t )

y ( π / 2 ) = 1

Colocando na forma padrão

y ' + 2 y / t = s i n ( t ) / t

y ( π / 2 ) = 1

Então, temos que

p ( t ) =   2 / t

q ( t ) =   s i n ( t ) / t

Logo

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

= e ∫ 2 / t d t

= e 2 l n ( t )

= t 2

Passo 3

Agora, vamos calcular

∫ u ( t ) q ( t ) d t

= ∫ t 2 ( s i n ( t ) / t ) d t

= ∫ t s i n ( t ) d t

Usando integração por partes

= s i n ( t ) - t c o s ( t )

Logo, nossa solução geral é:

y ( t ) = s i n ( t ) - t c o s ( t ) + C t 2

Passo 4

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial, temos que

y ( π / 2 ) = 1

Logo:

y ( π / 2 ) = 1 + C π 2 / 4 = 1

⇒ C = π 2 / 4 - 1

Ou seja, a solução do PVI é

y ( t ) = s i n ( t ) - t c o s ( t ) + π 2 / 4 - 1 t 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y ( t ) = s i n ( t ) - t c o s ( t ) + π 2 / 4 - 1 t 2

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