Cálculo Aplicado – 2ª Atividade Avaliativa – 2021.1 – Prof. Thiago de Souza Pinto
Considere o Problema de Valor Inicial (PVI)
- Encontre um fator integrante que torna a equação do PVI acima exata.
Passo 1
Opa! A primeira coisa que a gente tem que fazer é deixar essa EDO com essa cara aqui:
A gente faz isso “multiplicando” todo mundo por na equação que nos foi dada:
Então a gente tem, comparando as equações:
Daí a gente até consegue ver que a EDO não é exata calculando as derivadas
e observando que . Beleza? O que a gente vai fazer agora é achar um cara ou ou um que multiplicado por toda a nossa equação ela se torna exata! Não entendeu? Não esquenta, vamos ver isso com calma, olha só:
Passo 2
Vamos calcular dois termos. O primeiro é através dessa formulinha aqui:
Se esse cara só depender de , ele quem vai dar o nosso fator integrante. Caso contrário, vamos seguir para outra continha.
Usando as derivadas que a gente já calculou e a expressão de temos:
PUTS! Ele só depende de , então não é o nosso cara.
Passo 3
Vamos ver outro candidato através dessa formulinha aqui:
Se esse cara só depender de , esse é o cara que a gente vai usar. Usando as expressões que a gente tem:
OPAA!! Vimos que esse cara só depende de , então temos
Passo 4
Como encontramos o a gente acha o fator integrante através da expressão:
Muito feio né? Vamos resolver, primeiro, aquela integral que tem ali na expondencial usando o que a gente encontrou
Obs: Nesse passo a gente ignora a constante de integração.
Passo 5
Devolvendo a integral na exponencial temos
Aí a gente pode usar a propriedade da exponencial e, por fim, temos
Vamos para a próxima?