UFRJ, Cálculo 2, P1 2014.1, questão Múltipla Escolha 5
Um tanque possui litros de solução com cloro numa concentração de . Adiciona-se água ao tanque por uma mangueira numa taxa de contendo de cloro e a solução homogênea sai do tanque por um orifício em sua base com vazão de . A quantidade de cloro da solução homogênea no tanque no instante é solução do seguinte problema com condição inicial:
Passo 1
Primeira coisa a fazer é lembrar que, em questões de mistura, podemos modelar o problema da seguinte forma:
Lembrando que expressa a taxa de variação da quantidade de cloro no decorrer do tempo, logo faz sentido que essa medida seja expressa em .
Logo, também faz sentido que as taxas de entrada e de saída também tenham dimensão .
Passo 2
Agora vamos calcular a taxa de cloro que entra no tanque. Temos:
Substituindo os valores fornecidos no problema, temos:
Passo 3
Falta calcular a taxa de cloro que sai do tanque. Temos:
A taxa de retirada é fornecida diretamente pelo problema:
Agora temos de encontrar a concentração de sal no tanque.
Se pararmos para pensar, conseguimos perceber que a concentração de cloro no tanque em um instante é a quantidade de cloro no tanque naquele instante , dividido pelo volume do tanque naquele instante. Ou seja:
O denominador é pois esse é a quantidade de líquido no interior do tanque, incialmente tinha e perde
Passo 4
Vamos concluir nosso raciocínio, a quantidade de cloro no tanque é tal que:
Vale lembrar também que a quantidade de cloro inicial é , ou seja: