UFRJ – Cálculo 2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem – Questão 4
Um tanque contém inicialmente litros de água. Derrama-se no tanque água contendo
de , numa razão de . A mistura é mantida homogênea e escoa-se na
mesma razão. Depois de . o processo é interrompido e derrama-se água pura no
tanque à razão de , escoando-se a mistura ainda na mesma razão. Ache a quantidade de sal no tanque depois de (a partir ).
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! A equação que precisamos resolver é a de entrada e saída de sal
Mas como resolver?
A taxa de entrada pode ser escrita como o produto da concentração do volume que entra com a vazão de água que entra
E a saída como a vazão que sai vezes a concentração no volume do tanque
Aí temos
Integrando e isolando temos
E simplificando
Beleza?
E depois? Depois precisamos aplicar para o problema que temos! Com as condições iniciais! Após isso vamos poder encontrar os valores que o problema pede!
É isso! Bora lá?
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Vamos começar aplicando as condições iniciais
E sabemos que
Beleza?
E nossa equação fica
E depois de minutos a concentração é de
Beleza?
Passo 3
Agora vamos para a segunda parte! Depois desses minutos iniciais, é derramado água limpa (com ) e se deixa por mais min. Assim precisamos montar novamente nossa equação para achar a função que descreve
Com e agora , temos
E nossa função fica com
E ao final de mais minutos teremos a quantidade que o problema pede
Assim, passados minutos teremos
De sal
Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!