Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

Ver Teoria
Exercício 2512345678910111213141516171819202122232426272829

Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Exercícios de C2 - UnB MAT - Lista 8 - Eqs. Lineares e Método dos Fatores Integrantes, Questão 1a

Resolva o problema de valor inicial

y ' - y = 2 t e 2 t

y ( 0 ) = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Calc1. Nosso objetivo é calcular a solução do problema do valor inicial

y ' - y = 2 t e 2 t

y ( 0 ) = 1

Vamos lembrar como fazemos. A solução geral de um equação diferencial da forma

y ' + p ( t ) y = q ( t )

é dada por

y ( t ) = ∫ u ( t ) q ( t ) d t + C u ( t )

Onde u ( x ) é o chamado fator integrante e é definido como:

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

Passo 2

Nossa equação é

y ' - y = 2 t e 2 t

y ( 0 ) = 1

Então, temos que

p ( t ) =   - 1

q ( t ) =   2 t e 2 t

Logo

u ( t ) = e ∫ p ( t ) d t

= e ∫ - 1 d t

= e - t

Passo 3

Agora, vamos calcular

∫ u ( t ) q ( t ) d t

= ∫ e - t 2 t e 2 t d t

= ∫ 2 t e t d t

Integrando, por partes,

= 2 t e t - 2 e t

Logo, nossa solução geral é:

y ( t ) = 2 t e t - 2 e t + C e - t

y ( t ) = 2 t - 2 + C e t

Passo 4

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial, temos que

y ( 0 ) = 1

Logo:

y ( 0 ) = - 2 + C = 1

⇒ C = 3

Ou seja, a solução do PVI é

y ( t ) = 2 t - 2 + 3 e t

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

y ( t ) = 2 t - 2 + 3 e t

Exercícios de Livros Relacionados

24. Um trenó foguete, com velocidade inicial de 150 milhas/h (≈ 240 km/h), é freado por um canalde água. Suponha que, enquanto está sendo freado, a aceleração a do trenó é dada por a(υ) = –μυ², em que
19. Considere um lago, de volume constante V, contendo, no instante t, uma quantidade Q(t) de poluentes distribuídos uniformemente em todo o lago com uma concentração c(t), onde c(t) = Q(t)/V. Suponha
24. Um trenó foguete, com velocidade inicial de 150 milhas/h (≈ 240 km/h), é freado por um canalde água. Suponha que, enquanto está sendo freado, a aceleração a do trenó é dada por a(υ) = –μυ², em que
6. Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli2 diz que a vel
6. Suponha que um tanque contendo determinado líquido tem uma saída próxima do fundo. Seja h(t) a altura da superfície do líquido acima da saída no instante t. O princípio de Torricelli2 diz que a vel