Questão 2: Encontre a família de curvas no plano tal que em cada ponto, o coeficiente angular da reta tangente à curva, é a soma das coordenadas deste ponto. Encontre o membro da família que passa pela origem.
Passo 1
Primeiro precisamos modelar o nosso problema. Em seguida, devemos encontrar a equação da curva que passa pela origem onde e . Vamos nessa?
Pois, bem vamos começar modelando o nosso problema! Qual é o coeficiente angular da reta tangente a uma curva ? Sim! A derivada:
Então, como pelo enunciado:
“... o coeficiente angular da reta tangente à curva, é a soma das coordenadas deste ponto...”.
Logo:
Passo 2
Então veja que a modelagem nos gerou uma EDO de primeira ordem não homogênea:
A qual podemos resolver utilizando variação de parâmetros!
Nesse método, a solução é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 3
Nesse passo, vamos calcular a solução da parte homogênea:
Ora, utilizando a equação característica:
Podemos falar que a solução dessa EDO é:
Passo 4
Agora vamos buscar a solução da particular:
Como a função depois da igualdade é , um polinômio de primeiro grau, devemos supor que a solução particular é também um polinômio de primeiro grau:
Beleza, então conhecemos a cara da solução particular. Falta encontrar quem são esses e aí. Podemos fazer isso, derivando uma vez e substituindo na EDO:
Então:
Logo, por igualdade de polinômios:
Então:
Passo 5
A solução da EDO e, portanto da família de curvas que satisfazem o problema é então:
Para encontrar o membro da família que passa pela origem, como já comentamos, basta substituir e ...
Então essa curva é...