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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

Fator Integrante

( a ) Resolva a equação

y ' + 10 y = 5 x

Passo 1

( a ) Bom, temos uma equação linear de primeira ordem, certo?

y ' + p x . y = g ( x )

Nesse caso, p x = 10 e g x = 5 x .

Passo 2

Nós sabemos que a solução desse cara vai ser:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x g x d x + C

Vou dizer que:

1 I ( x ) = v ( x )

∫ I x g x d x + C = u ( x )

E então nossa solução será:

y x = v ( x ) u ( x )

Vamos calcular, primeiro, I ( x ) :

I x = e ∫ p x d x

I x = e ∫ 10 d x

I x = e 10 x

Então:

v x = 1 I ( x ) = 1 e 10 x = e - 10 x

Passo 3

E agora o u ( x ) :

u x = ∫     g x e ∫ p x d x d x + C

u x = ∫     5 x e 10 x d x + C

Passo 4

Ihh, vamos precisar de integração por partes, olha aí: (esses u e v são outros, beleza?)

∫     x ⏟ u e 10 x ⏟ v ' d x = x ⏟ u 1 10 e 10 x ⏟ v - ∫     1 ⏟ u ' . 1 10 e 10 x ⏟ v d x

∫     x e 10 x d x = 1 10 x e 10 x - 1 100 e 10 x

Passo 5

Assim, teremos:

u x = 5 ∫     x e 10 x d x + C

u x = 5 1 10 x e 10 x - 1 100 e 10 x + C

u x = 1 2 x e 10 x - 1 20 e 10 x + C

Passo 6

E, finalmente, a solução é dada por

y x = u x . v x

y x = 1 2 x e 10 x - 1 20 e 10 x + C . e - 10 x

y x = 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

Resposta

a y x = 1 2 x - 1 20 + C e - 10 x

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