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Exercícios Resolvidos de Modelagens com Fator Integrante

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, P1 2013.1, questão 4 Múltipla Escolha

Um tanque contém inicialmente (em t = 0 ) 100 litros de água pura. Injetam-se no tanque 10 litros/hora de água com sal a uma concentração que varia com o tempo segundo a fórmula

C t = e - t 2 kg/litro (para t medido em horas),

e retiram-se 10 litros/hora da mistura resultante (assumida sempre homogênea). A função q t , que representa a quantidade de sal no tanque ao longo do tempo, é a solução da equação diferencial:

a   q ' = 10 - 10 q 100 + e - t 2

b   q ' = 10 - 10 q 100

c   q ' = 10 e - t 2 - 10 q 100

d   q ' = 10 e - t 2 - q e - t 2

e   q ' = 10 1 100 + e - t 2 - 10 e - t 2 100 + e - t 2

f nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Primeira coisa a fazer é lembrar que, em questões de mistura, podemos modelar o problema da seguinte forma:

d y d t = T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a - [ T a x a   d e   s a l   q u e   s a i ]

Lembrando que d y d t expressa a taxa de variação da quantidade de sal no decorrer do tempo, logo faz sentido que essa medida seja expressa em k g h .

Logo, também faz sentido que as taxas de entrada e de saída também tenham dimensão k g h .

Passo 2

Agora vamos calcular a taxa de sal que entra no tanque. Temos:

T a x a   d e   s a l   q u e   e n t r a = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   d a   s o l u ç ã o x [ t a x a   d e   e n t r a d a   d a   s o l . ]

Substituindo os valores fornecidos no problema, temos:

T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a = 10   k g L x e - t 2 L h = 10 e - t 2   k g h

Passo 3

Falta calcular a taxa de sal que sai do tanque. Temos:

T a x a   d e   s a l   q u e     s a i = c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e x [ t a x a   d e   r e t i r a d a ]

A taxa de retirada é fornecida diretamente pelo problema:

t a x a   d e   r e t i r a d a = 10   L h

Agora temos de encontrar a concentração de sal no tanque.

Se pararmos para pensar, conseguimos perceber que a concentração de sal no tanque em um instante t é a quantidade de sal no tanque naquele instante t , dividido pelo volume do tanque naquele instante. Ou seja:

c o n c e n t r a ç ã o   d e   s a l   n o   t a n q u e = q 100   k g L

Passo 4

Então, só nos falta encontrar o volume do tanque. Uma solução é adicionada a taxa 10 e - t 2   k g h , porém ocorre uma retirada na taxa de q 10 k g h .

Portanto, a taxa de variação real que o tanque está sujeito é:

d q d t = T a x a   d e   s a l   q u e     e n t r a - T a x a   d e   s a l   q u e   s a i

q ' = 10 e - t 2 - q 10

Letra c !

Resposta

Letra c

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