Considere um elétron que esteja confinado dentro de um poço de potencial unidimensional, com altura infinita e largura d.

(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para este elétron na região (dentro do poço).

(b) Obtenha as soluções normalizadas do problema acima e as correspondentes energias permitidas para o elétron na região

(c) Considere agora que o elétron se encontra no estado quântico descrito pela função de onda , sendo A a constante de normalização obtida no item (b). Determine o comprimento de onda de de Broglie e o momento linear associado à este estado.

(d) Para o mesmo estado do item (c), determine a probabilidade de encontrar o elétron entre e

(b) As soluções da equação:

Onde

São funções cujas derivadas segundas são menos uma constante ao quadrado vezes a própria função.

Isso acontece com as funções e , e uma solução é uma combinação linear dessas duas, da forma:

Pelas condições de contorno do problema:

Como não queremos uma solução trivial é solução trivial), vamos fazer:

Com

Com isso já conseguimos achar as energias permitidas

Temos:

Substituindo pelo valor de k que achamos:

Ainda precisamos achar as soluções normalizadas, pois até agora temos:

Para isso, vamos usar a condição de normalização:

Usando que:

Achamos:

Logo, a solução normalizada é:

(c) A gente acabou de achar que:

E o enunciado deu pra gente um elétron que está num estado descrito pela função:

Comparando essas duas funções, achamos que:

Para achar a energia desse estado, vamos usar a fórmula que achamos no Passo 2:

Substituindo

Para achar o comprimento de onda de de Broglie, vamos usar que:

Mas também tínhamos visto que:

Logo:

Substituindo na fórmula para o comprimento de onda:

Para achar o momento linear, vamos usar que:

Para a energia

(d) A probabilidade de encontrar o elétron entre e é dada por:

Substituindo:

De novo vamos usar que:

Assim: