Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Seja Δ E n a diferença de energia entre dois níveis de energia adjacentes E n e E n + 1 para uma partícula em uma caixa (poço infinito). A razão R n = Δ E n / E n compara a energia de um nível com a diferença de energia entre este nível de energia e a energia de um nível adjacente.

Qual é o valor máximo de R n ?

a ) 3

b ) 5

c ) 1

d ) 5 2

e ) 1 2

f ) 3 2

g ) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

As energias permitidas em um poço de potencial infinito são dadas por:

E n = n 2 E 1

Onde n representa o nível de energia e E 1 representa a energia no estado fundamental, dada por:

E 1 = h 2 8 m L 2

Passo 2

Substituindo as expressões do Passo 1 na expressão de R n , teremos:

R n = Δ E n E n

R n = E n + 1 - E n E n

R n = n + 1 2 E 1 - n 2 E 1 n 2 E 1 = E 1 n + 1 2 - n 2 n 2 E 1

Beleza, agora é só ir dando uma arrumada na casa.

R n = n + 1 2 - n 2 n 2

R n = n 2 + 2 n + 1 - n 2 n 2

R n = 2 n + 1 n 2

R n = 2 n + 1 n 2

Passo 3

Analisando a expressão de R n podemos ver que, quanto maior o valor de n , menor será o valor de R n . Assim, para que R n tenha o maior valor possível, n deverá ter o menor valor possível, logo:

n = 1

R 1 = 2 + 1

R 1 = 3

Assim, a resposta certa é a letra a .

Resposta

a ) 3

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