Física 4 – UFRJ – 2019.1 – PF – Questão 1
Uma partícula de massa encontra-se confinada em uma caixa unidimensional , descrita pela região . A energia potencial é para pontos no interior da caixa e para pontos fora da caixa. As equações do formulário podem ser usadas sem demonstração. NÃO substitua os valores das constantes fundamentais na resposta final de cada item.
a) Determine a energia do segundo estado excitado do sistema.
b) Determine a função de onda independente do tempo (normalizada) do estado fundamental.
Passo 1
Fala pessoal, beleza?
Nesse problema vamos brincar com o poço quadrado finito. O enunciado disse que podíamos usar os dados do formulário, mas aí o problema seria uma mera substituição de fórmulas. Como estou aqui para ajudar você a estudar, vou fazer todas as contas para deduzir a energia e a função de onda desse problema.
A equação de Schrodinger independente do tempo é dada por
Dentro da caixa o potencial é nulo, de modo que
Chamando , temos a equação diferencial
Note que essa é a mesma equação do oscilador harmônico, de modo que a solução geral é
Passo 2
Mas quem são as constantes e nesse problema?
Como potencial é infinito fora da caixa, a função de onda deve se anular em todos os pontos fora dela, incluindo nas extremidades e :
Como , a segunda relação nos dá:
Daqui podemos tirar duas coisas: ou ou . Se a função de onda vai ser nula para todos os pontos dentro da caixa, o que não faz muito sentido. Com isso, temos que tomar
Para que isso aconteça, o argumento do seno deve ser um múltiplo inteiro de :
Com isso, achamos uma condição nos possíveis valores de :
Desta forma,
Note que para cada natural vamos ter uma função de onda diferente.
Passo 3
Falta ainda determinar a constante de normalização . Para isso, temos que a lembrar da condição de normalização:
Como a função de onda só não é nula dentro da caixa, temos que
Logo,
Para fazer a integral, vamos fazer a substituição
Assim,
Daí, usamos :
Logo,
Portanto,
Com isso, a função de onda normalizada é
Passo 4
No item (a) queremos a energia do segundo estado excitado. Cuidado que isso é uma pegadinha! O estado fundamental é , o primeiro estado excitado é e o segundo estado excitado é . Assim, a energia será
No item (b) ele pede a função de onda do estado fundamental (), de modo que
Com isso fechamos o problema 😉.