As funções de onda correspondentes aos estados estacionários de uma partícula de massa que se move em uma dimensão confinada em um poço de potencial infinito de largura são dadas por
Determine a expressão para o comprimento de onda de de Broglie desta partícula para o estado correspondente a
Estime a incerteza mínima na medida do momento linear desta partícula no estado .
Suponha agora que no instante , a partícula encontra-se em um estado dado pela superposição de dois estados estacionários na forma , onde e representam a parte espacial das soluções estacionárias para e , respectivamente, e uma constante. Obtenha e . Expresse sua resposta em termos de e e das demais grandezas que caracterizam o sistema.
O estado acima é um estado estacionário? Justifique sua resposta.
Passo 1
Letra : O comprimento de onda de de Broglie depende do número de onda associado ao estado de . Assim, sabemos que o ésimo número de onda é dado por
Este número de onda é obtido da imposição das condições de contorno , na equação de Schrödinger independente do tempo.Desta forma, o comprimento de onda de de Broglie é dado por
Para o valor de , temos finalmente que
Passo 2
Letra : Neste item, precisamos determinar a mínima incerteza do momento associado ao estado . Pelo princípio de incerteza de Heisenberg, temos que a incerteza do momento e da posição se relacionam por
Como se trata de uma desigualdade, a mínima incerteza no momento está vinculada à máxima incerteza na posição quando tomamos a igualdade, ou seja,
Agora, como a probabilidade de encontrar a partícula em uma região que não seja é nula (pois a função de onda é nula em tais regiões), então a maior incerteza relacionada a posição é igual a largura do potencial, isto é,
Portanto, temos finalmente que
Passo 3
Letra : A solução geral da equação de Schrödinger dependente do tempo é dada por
sendo a parte espacial da solução estacionária , a auto energia associada ao estado e coeficientes que são ajustados de acordo com a condição inicial. Para o nosso caso, as funções são dadas por
É possível mostrar que
com
A relação é chamada ortogonalidade das funções .Já os coeficientes são obtidos da seguinte forma
sendo a condição inicial do problema.
Assim, segundo o enunciado, no instante , temos que
Vamos calcular . Para tanto, devemos calcular os coeficientes que se ajustam a esta condição inicial. Utilizando a relação que definem os e a relação de ortogonalidade das funções , temos que
Desta forma, apenas os coeficientes para e que serão diferentes de zero. Os mesmos são dados por
Portanto, a função é dada por
Passo 4
Agora, vamos calcular . Sabemos que o mesmo é dado por
Depois de realizar a multiplicação, obtém-se
Utilizando a fórmula de Euler , podemos escrever que
Portanto, chegamos a
Passo 5
Letra : Um estado estacionário genérico é caracterizado por ser independente do tempo. Para o nosso caso, temos que possui uma dependência temporal devido ao termo . Portanto, o estado obtido no item anterior não é um estado estacionário.
Resposta
- Não, pois depende explicitamente do tempo.
e