PUC, Física 4, P3 2017.1, 3
Uma partícula de massa m está confinada em um poço de potencial infinito (“caixa unidimensional”), tal que
(a) A partir da equação de Schrödinger, verifique que é uma função de onda possível para representar o estado quântico dessa partícula e, com isso, encontre a energia associada a esse estado.
(b) Encontre o valor esperado da posição da partícula no estado do item (a).
Passo 1
A fórmula geral de Schrödinger é dada por
Mas nesse caso queremos o estado da partícula em 1D quando está esta dentro do poço, ou seja, pelo enunciado vemos que quando a partícula esta dentro do poço V(x)=0 logo U(x)=0 dentro do poço, dessa forma podemos reescrever a equação de Schrödinger como
Já sabemos que
E a derivada segunda será
Passo 2
Substituindo as funções na equações teremos que
Isolando a energia, teremos que
Agora vale lembrar que se fizéssemos esse mesmo calculo mas para um nível n do poço infinito, teriamos que
Substituindo
Comparando as duas fórmulas teremos que
Ou seja, corresponde à energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito.
Passo 3
Para descobrirmos o valor esperado da posição da partícula precisamos usar a integração
Resolvendo essa integral teremos que
Resposta
- energia do terceiro nível (n=3) do poço infinito