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Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

Um elétron está confinado em um poço de potencial infinito unidimensional com 100   p m de largura; o elétron se encontra no estado fundamental.

Qual é a probabilidade de que o elétron seja detectado em uma região de largura Δ x = 5,0   p m em torno do ponto:

  1. x = 25   p m
  2. x = 50   p m
  3. x = 90   p m

(Sugestão: A largura Δ x é tão pequena que a densidade de probabilidade pode ser considerada constante em seu interior)

Passo 1

A probabilidade de se encontrar o elétron numa dada região a , b é dada por:

P = ∫ a b ψ 2 x d x

Mas, usando a sugestão do problema, podemos aproximá-la por:

P ≅ ψ 2 x ∙ Δ x

Onde, no caso da partícula confinada num poço unidimensional:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ n π L ∙ x

E para o estado fundamental n = 1 .

Passo 2

Letra a)

Pelo enunciado, L = 100   p m .

Para x = 25   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 25 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 4

ψ 2 = 2 100 ∙ 2 2 2 = 1 50 ∙ 2 4 = 1 100

Como Δ x = 5   p m , a probabilidade usando nossa aproximação será:

P = 5 100 = 0,05 = 5 %

Passo 3

Letra b)

Para x = 50   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 50 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 2

ψ 2 = 2 100 ∙ 1 2 = 1 50

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P = 5 50 = 1 10 = 0,1 = 10 %

Passo 4

Letra c)

Para x = 90   p m , temos:

ψ 2 x = 2 L ∙ sen 2 ⁡ π L ∙ x = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ π 100 ∙ 90 = 2 100 ∙ sen 2 ⁡ 9 π 10

ψ 2 ≅ 0,00191

Com Δ x = 5   p m a probabilidade fica:

P ≅ 0,00191 ∙ 5 ≅ 0,00955 = 0,955 %

Resposta

Letra a)

P = 0,05 = 5 %

Letra b)

P = 0,1 = 10 %

Letra c)]

P ≅ 0,00955 = 0,955 %

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