Um elétron encontra-se aprisionado num poço de potencial unidimensional infinito de comprimento (caixa quântica).
Este elétron comporta-se como uma corda presa nas extremidades e e está inicialmente no estado fundamental.
Dados , , e , em função dos dados:
- Deduza a energia e o momento do elétron.
- Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
- Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre e , se ele estiver no segundo estado?
- Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
- Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
Passo 1
a) Deduza a energia e o momento do elétron.
Para uma onda estacionária, podemos dizer que:
O momento do elétron é dado por:
Como o elétron se encontra no estado fundamental, , logo:
Passo 2
A energia do elétron é dada por:
Substituindo a expressão para que acabamos de encontrar:
Passo 3
b) Encontre o vetor de estado (função de onda) para o estado fundamental, normalizado.
A expressão geral para a função de onda em um problema de poço de potencial infinito é:
O valor de é encontrado a partir da condição de normalização, dada por:
Mas como o elétron está aprisionado na caixa de comprimento , a função de onda só existe no intervalo , os limites de integração serão e .
Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:
Substituindo na integral, teremos:
Segundo o enunciado:
Logo:
Substituindo na expressão da função de onda:
No estado fundamental, , logo:
Passo 4
c) Qual a probabilidade de encontrar o elétron entre e , se ele estiver no segundo estado?
Se o elétron estiver no segundo estado, então , e a função de onda é dada por:
A probabilidade de o elétron estar na região é dada por:
Logo:
Para resolvermos essa integral, podemos fazer a seguinte substituição:
Substituindo na integral, teremos:
Segundo o enunciado:
Logo:
Passo 5
d) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de menor probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo é dado por:
Se o elétron estiver no quarto estado, então , e a função de onda é dada por:
Os pontos de menor probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde:
Logo:
Isso só é possível quando o argumento da função seno é igual a um número inteiro de :
Logo, os pontos possíveis serão:
Passo 6
e) Se o elétron estiver no quarto estado, quais os pontos de maior probabilidade de encontrar o elétron, em função de ?
A probabilidade de encontrarmos o elétron em um determinado intervalo é dado por:
Se o elétron estiver no quarto estado, então , e a função de onda é dada por:
Os pontos de maior probabilidade de encontrarmos o elétron serão os pontos onde é máximo ou mínimo, garantindo que seja máximo. Logo:
Isso só é possível quando:
Logo, os pontos possíveis serão:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)