Considere o movimento unidimensional de uma partícula de massa m sujeita a um potencial que é nulo na região e infinito para ou
(a) Escreva a função de onda nas regiões e . Justifique sua resposta.
(b) Escreva a equação de Schrödinger para a região e utilizando as condições de contorno, obtenha a expressão para a função de onda normalizada
(c) Determine os possíveis valores dos níveis de energia em termos dos parâmetros do enunciado e de
Passo 1
(a) Lembrando que a equação de Schrödinger é dada por:
Rearranjando os termos na equação:
Fazendo
A solução dessa equação é:
onde
Isso é porque temos uma derivada segunda de uma função igual a uma constante vezes a própria função, e isso acontece para a função exponencial.
Mas na região e na região , temos que
Então, fazendo e
Portanto, nessas regiões, a função de onda é:
Passo 2
(b) Agora, na região com temos e a equação de Schrödinger fica:
Agora temos uma função cuja derivada segunda é uma menos uma constante vezes a própria função.
Isso ocorre para as funções seno e cosseno, então as duas são possíveis respostas.
Então, como uma combinação linear de soluções de uma equação diferencial também é solução dessa equação, uma solução possível vai ser:
Onde
Pelas condições de contorno do problema:
Como não queremos uma solução trivial é solução trivial), vamos fazer:
Com
Beleza, mas ainda precisamos achar as soluções normalizadas, pois até agora temos só que:
Ainda falta achar esse A aí em cima.
Para isso, vamos usar a condição de normalização:
Usando que:
Achamos:
Logo, a solução normalizada é:
Passo 3
(c) Vimos no Passo 2 que:
Com
Com isso já conseguimos achar as energias permitidas
Tínhamos visto também no Passo 2 que:
Isolando E:
Substituindo pelo valor de k que falamos no início do Passo 3:
Resposta
(a)
(b)
(c)