Origem do Exercício
Considere uma partícula de massa e energia num potencial unidimensional que é nulo na região e infinito para ou .
- Escreva a função de onda nas regiões e . Justifique.
- Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo na região e as condições de contorno que a função de onda deve satisfazer.
- Resolva a equação de Schrödinger com as condições de contorno, determinando as funções de onda (não é necessário normalizá-las) e os níveis de energia.
Passo 1
Letra a)
Nas regiões e a função de onda é
Pois a partícula estando confinada na caixa pelos potenciais infinitos, ela não poderia nunca ser encontrada do lado de fora.
Passo 2
Letra b)
Nesta região, e a equação de Schrödinger fica
As equações de contorno são dadas pela continuidade da função de onda.
Como fora da caixa, , temos que:
Passo 3
Letra c)
A função de onda é do tipo:
Onde .
E com isso a função de onda mais geral será uma combinação de senos e cossenos:
Usando as condições de contorno, temos:
Neste caso, ou temos e nesse caso a função de onda é nula, não sendo normalizável (pois ficaria nula em toda a reta real) ou temos .
Novamente, ou temos , o que também não é desejado, ou (a função seno zera em , , , , ... ) e temos:
E com isso a função de onda é:
Para achar os níveis de energia, precisamos igualar encontrado pela condição de contorno com a sua definição.
Resposta
Letra a)
Pois a partícula está confinada dentro da caixa.
Letra b)
Letra c)