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Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

PUC, Física 4, P3 2016.2, 4

Faça a escolha correta e justifique: A energia no estado fundamental de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento 𝐿 = 0,2 𝑛𝑚 é:

(a) 1,88 eV

(b) 4,47 eV

(c) 6,25 eV

(d) 9,38 eV.

Passo 1

A fórmula geral de Schrödinger é dada por

- ћ 2 2 m d 2 φ x d x 2 + U x . φ x = E φ x

Mas nesse caso queremos o estado da partícula em 1D quando está esta dentro do poço, ou seja, V(x)=0 logo U(x)=0 dentro do poço, dessa forma podemos reescrever a equação de Schrödinger como

- ћ 2 2 m d 2 φ x d x 2 = E φ x

Já sabemos que para partículas unidimensionais podemos escrever a função de onda como

ψ ( x )   =   2 L   s e n ( n π L x )

E a derivada segunda será

d 2 φ x d x 2 = - 2 L   . n π L 2 . s e n ( n π L x )

Passo 2

Substituindo as funções nas equações teremos que

- ћ 2 2 m - 2 L   . n π L 2 . s e n n π L x = E   2 L   s e n ( n π L x )

Isolando a energia, teremos que

E = - ћ 2 2 m - 2 L   . n π L 2 . s e n n π L x 2 L   s e n ( n π L x )

E = - ћ 2 2 m -   n π L 2

E = n 2 ћ 2 π 2 2 m L 2

Mas sabemos que

ћ = h 2 π

substituindo teremos

E = n 2 h 2 π 2 2.4 . π 2 . m L 2

E = n 2 h 2 8 m L 2

Sabemos que os valores são

n = 1 ( e s t a d o   f u n d a m e n t a l )

h = 6,626.10 - 34 J . s

m = 9,11.10 - 31 K g

L = 0,2 n m = 0,2.10 - 9 m

1 e V = 1,6.10 - 19 J

Substituindo teremos que

E = 1 2 . ( 6,626.10 - 34 ) 2 8 . 9,11.10 - 31 . ( 0,2.10 - 9 ) 2 = 1,51 x 10 - 18 J

E = 1,51 x 10 - 18 1,6.10 - 19 = 9,4   e V

Resposta

(d) 9,38 eV.

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