Exercícios Resolvidos de Partícula na Caixa Unidimensional

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Enunciado

3 .

( c ) Seja um elétron confinado em um poço infinito de largura 2,0   n m , sendo sua função de onda correspondente ao segundo estado de energia. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron em uma janela de ± 0,2 n m em torno do ponto médio do poço.

Passo 1

Então galera, para esse problema temos que calcular a probabilidade do elétron se encontrado em uma certa região, essa probabilidade é dada por:

p a < x < b = ∫ a b ψ n ( x ) 2 d x

Só que no nosso caso temos a = - 0,2   n m   e b = 0,2   n m .

E a nossa função de onda ψ n ( x ) é a seguinte:

ψ n x = 2 L sen ⁡ n π x L

Mas como ele quer para o segundo estado de energia, temos n = 3 . Mas primeiro vamos fazer as contas e depois substituímos os valores das constantes.

Passo 2

Mãos a obra então, temos o seguinte:

p - 0,2 < x < 0,2 = ∫ - 0,2 0,2 ψ n ( x ) 2 d x

= ∫ - 0,2 0,2 2 L sen ⁡ n π x L 2 L sen ⁡ n π x L d x

= 2 L ∫ - 0,2 0,2 sen 2 ⁡ n π x L d x

= 2 L x 2 - sen ⁡ 2 n π x L 4 n π L - 0,2 0,2

= 2 L 0,2 2 - sen ⁡ 2 n π 0,2 L 4 n π L + 0,2 2 + sen ⁡ 2 n π ( - 0,2 ) L 4 n π L

Passo 3

Agora vamos substituir os valores de L e n que conhecemos, temos:

p - 0,2 < x < 0,2 = 2 2 0,2 2 - sen ⁡ 2 3 π 0,2 2 4 3 π 2 + 0,2 2 + sen ⁡ 2 3 π ( - 0,2 ) 2 4 3 π 2

= 0,2 - sen ⁡ 0,6 π 6 π - sen ⁡ 0,6 π 6 π

= 0,2 - sen ⁡ 0,6 π 3 π

= 0,2 - 0,1009

Então temos que:

p - 0,2 < x < 0,2 = 0,099

Resposta

p - 0,2 < x < 0,2 = 0,099

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