Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Se a função de probabilidade da variável aleatória contínua ( X , Y ) é dada por:

f x , y = 2 3   k . x . y     ,     o n d e   0 ≤ y ≤ x ≤ 1

  1. Determine a constante k para que f ( x , y ) seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y , mostre a função f ( x , y ) ?
  2. Encontre a densidade marginal de X e a densidade marginal de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .

Passo 1

(a)

Pra que seja uma função de probabilidade, a integral tem que resultar em 1 .

∫ 0 1 ∫ 0 x 2 3 . k . x . y   d y d x

∫ 0 1 2 3 . k . x     d x × y 2 2 0 x

∫ 0 1 1 3 . k . x ³   d y

1 3 . k . x 4 4 0 1 = k 12

Isso tem que ser igual a 1 .

k = 12

A função ficaria então:

f x , y = 8 . x . y

Passo 2

(b)

Marginal de Y :

f y = ∫ y 1 8 . x . y   d x

= 4 x 2 y y 1

f y = 4 y - 4 y ³

Passo 3

A marginal de X é a mesma ideia:

f x = ∫ 0 x 8 . x . y   d y

= 4 x y 2 0 x

f x = 4 x ³

Passo 4

(c)

Calcular f X Y = y .

f X Y = y = f x , y f y

= 8 x y 4 y - 4 y ³

= 2 x 1 - y 2

Resposta

a   k = 12

b   f x = 4 x ³     ,     f y = 4 y - 4 y ³

c   f X Y = y = 2 x 1 - y 2

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