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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

TAREFA da aula – 7 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 2

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecida. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta f x , y = c p x q y , para x ∈ { 2,3 … } e y ∈ { 0,1 , 2 } , mostre como encontrar:

a) O valor de " c " em função de p e q , para que f seja uma distribuição conjunta. Apresente a função conjunta somente em função de p e q .

b) A densidade condicional de Y dado X = x .

c) Podemos afirmar que X   e Y são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Bora começar aqui, meus queridos (as)!

Para a função ser de distribuição conjunta, os somatórios tem que ser igual a 1. Sendo assim, com base na função dada...

∑ y = 0 2 ∑ x = 2 ∞ c p x q y = 1

Reorganizando isso daí:

c ∑ y = 0 2 q y ⋅ ∑ x = 2 n p x = 1

Abrindo os somatórios e fazendo os cálculos, temos que:

c q 0 + q 1 + q 2 ( p 2 + p 3 + … p n ) = 1

c 1 + q + q 2 p p + p 2 + … p n = 1

Esse segundo parênteses aí, pode ser agora reescrito como outro somatório:

c 1 + q + q 2 p ∑ x = 1 n p x = 1

E agora lembrando da sacada da série geométrica...

∑ x = 1 n p x = p 1 - p

Podemos fazer o seguinte...

c 1 + q + q 2 p p 1 - p = 1

c = 1 - p p ² ( 1 + q + q 2 )

Passo 2

b) Com o valor de c , nossa função de probabilidade conjunta é dada por:

f x , y = 1 - p p 2 1 + q + q 2 p x q y

Precisamos primeiro calcular as marginais, começando pela de X :

f x = 1 - p p 2 1 + q + q 2 p x ∑ y = 0 2 q y

f x = 1 - p p 2 1 + q + q 2 p x ( 1 + q + q 2 )

f x = 1 - p p x p ²

Agora a de Y :

f y = 1 - p p 2 1 + q + q 2 q y ∑ x = 2 n p x

f y = 1 - p p 2 1 + q + q 2 q y p ∑ x = 1 n p x

f y = 1 - p p 2 1 + q + q 2 q y p p 1 - p

f y = q y ( 1 + q + q 2 )

Então a condicional de Y dado que X = x vai ser:

f y x = f x , y f ( x ) = 1 - p p 2 1 + q + q 2 p x q y 1 - p p x p ² = q y ( 1 + q + q 2 )

Passo 3

c) Por último, falta ver se X e Y são independentes.

Ora bolas! É só multiplicar as duas marginais:

f x ⋅ f y = 1 - p p x p ² × q y ( 1 + q + q 2 ) = 1 - p p 2 1 + q + q 2 p x q y

Com isso, verificamos que o resultado é igual a função de probabilidade conjunta. Então as v.a.’s são independentes!

Resposta

a)

c = 1 - p p ² ( 1 + q + q 2 )

b)

f y x = q y ( 1 + q + q 2 )

c)

S ã o   i n d e p e n d e n t e s .

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