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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidades PSUB 2019

Considere a função de densidade conjunta f X , Y   x , y =   e - x + y para x ≥ 0   e   y ≥ 0 e f X , Y x , y = 0 caso contrário. Qual é a probabilidade de X , Y pertencer à região descrita por x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x ? (Note: senecessário utilize as aproximações e - 1 = 0,37 ; e - 2 = 0,14 ; e - 3 = 0,05 . )

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nessa questão queremos calcular a probabilidade de X , Y pertencer ao conjunto x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x

Para isso nos é informado que f X , Y   x , y =   e - x + y para x ≥ 0   e   y ≥ 0 e f X , Y x , y = 0 C.C

Passo 2

Como f X , Y   x , y =   e - x + y é a densidade conjunta de X , Y , então

P a ≤ X ≤ b ,   c ≤   Y   ≤   d =   ∫ a b ∫ c d f X , Y x , y d y d x

Queremos calcular a probabilidade de X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x . Então vamos olhar com calma que conjunto é esse.

Os elementos do conjunto x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x são os pares ordenados onde 0 ≤   x   ≤ 1   e y ≤ x . Mas se y ≤ x então - x ≤ y ≤ x  

Sendo assim,

P X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x = P 0 ≤ X ≤ 1 ,   - x ≤   Y   ≤   x

=   ∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x

No próximo passo vamos calcular essa belezinha

Passo 3

No passo anterior vimos que P X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x =   ∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x

Agora vamos desenvolver essa integral dupla.

∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x =   ∫ 0 1 ∫ 0 x e - x - y d y d x

(pois f X , Y x , y = 0 para y < 0   )

=   ∫ 0 1 e - x   ∫ 0 x e - y d y d x

Como a integral de ∫   e - x     =   - e - x , então

∫ 0 1 e - x   ∫ 0 x e - y d y d x =   ∫ 0 1 e - x   - e - y ​ y = 0 y = x d x

=   ∫ 0 1 e - x   - e - x   +   1 d x

(juntando as exponenciais)

=   ∫ 0 1 - e - 2 x     + e - x   d x

=   e - 2 x 2     - e - x   ​ x = 0 x = 1

=   e - 2 2 - 1 2     - e - 1   +   1

(usando as aproximações das exponenciais e - 1 = 0,37 , e - 2 = 0,14 )

=   0.07   -   1 2   -   0.37   + 1

=   0.2  

Finalmente terminamos!!!

Isso aí pessoal, o foco dessa questão foi calcular a probabilidade de uma região levando em conta o domínio da função de densidade.

Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão, pessoal. Bons estudos!!!

Resposta

0.2  

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