Considere a função de densidade conjunta f X , Y   x , y =   e - x + y para x ≥ 0   e   y ≥ 0 e f X , Y x , y = 0 caso contrário. Qual é a probabilidade de X , Y pertencer à região descrita por x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x ? (Note: senecessário utilize as aproximações e - 1 = 0,37 ; e - 2 = 0,14 ; e - 3 = 0,05 . )

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade.

Nessa questão queremos calcular a probabilidade de X , Y pertencer ao conjunto x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x

Para isso nos é informado que f X , Y   x , y =   e - x + y para x ≥ 0   e   y ≥ 0 e f X , Y x , y = 0 C.C

Passo 2

Como f X , Y   x , y =   e - x + y é a densidade conjunta de X , Y , então

P a ≤ X ≤ b ,   c ≤   Y   ≤   d =   ∫ a b ∫ c d f X , Y x , y d y d x

Queremos calcular a probabilidade de X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x . Então vamos olhar com calma que conjunto é esse.

Os elementos do conjunto x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x são os pares ordenados onde 0 ≤   x   ≤ 1   e y ≤ x . Mas se y ≤ x então - x ≤ y ≤ x  

Sendo assim,

P X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x = P 0 ≤ X ≤ 1 ,   - x ≤   Y   ≤   x

=   ∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x

No próximo passo vamos calcular essa belezinha

Passo 3

No passo anterior vimos que P X , Y ∈ x , y :   0 ≤   x   ≤ 1 ;   y ≤ x =   ∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x

Agora vamos desenvolver essa integral dupla.

∫ 0 1 ∫ - x x f X , Y x , y d y d x =   ∫ 0 1 ∫ 0 x e - x - y d y d x

(pois f X , Y x , y = 0 para y < 0   )

=   ∫ 0 1 e - x   ∫ 0 x e - y d y d x

Como a integral de ∫   e - x     =   - e - x , então

∫ 0 1 e - x   ∫ 0 x e - y d y d x =   ∫ 0 1 e - x   - e - y ​ y = 0 y = x d x

=   ∫ 0 1 e - x   - e - x   +   1 d x

(juntando as exponenciais)

=   ∫ 0 1 - e - 2 x     + e - x   d x

=   e - 2 x 2     - e - x   ​ x = 0 x = 1

=   e - 2 2 - 1 2     - e - 1   +   1

(usando as aproximações das exponenciais e - 1 = 0,37 , e - 2 = 0,14 )

=   0.07   -   1 2   -   0.37   + 1

=   0.2  

Finalmente terminamos!!!

Isso aí pessoal, o foco dessa questão foi calcular a probabilidade de uma região levando em conta o domínio da função de densidade.

Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão, pessoal. Bons estudos!!!

Resposta

0.2  

Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que duas variáveis aleatórias (X,Y) sejam uniformemente distribuídas num círculo de raio a. Então, a função de densidade de probabilidade conjunta é: f x , y = 1 π a 2 ,x 2 + y 2 ≤ a 2 f ( x ,
A distribuição de probabilidade conjunta é. Mostre que a correlação entre X e Y é zero, porém X e Y não são independentes.
Os pesos de tijolos de barro usadas em construção são distribuídas normalmente, com uma média de três libras e o desvio padrão de 0.25 libras. Suponha que os pesos dos tijolos sejam independentes e qu
Suponha que as variáveis aleatórias, existem uma função densidade de probabilidade conjunta. Determine o seguinte:
Suponha que é correlação entre X e Y seja P. Para as constantes a, b, c e d qual é a correlação entre as variáveis aleatórias