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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

USP probabilidade e estatística probabilidade P3 2017

Duas variáveis aleatórias X   e   Y têm densidade conjunta f X , Y x , y igual a k x y 2 para 0 ≤ y ≤ x ≤ 1   e igual a 0   fora dessa região. O valor de k   é:

Passo 1

Fala galera!!! Tudo belezinha? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez queremos calcular o valor da constante k   que está presente na função de densidade f X , Y x , y

Vale lembrar que como f X , Y x , y é uma função de densidade sua integral no domínio de X   e   Y é igual a 1  

Passo 2

Queremos calcular k   usando o fato que ∫ y ∈ R   ∫ x ∈ R   f X , Y x , y d x d y   =   1   temos:

∫ y ∈ R   ∫ x ∈ R   k x y 2 1 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 d x d y   =   1 , onde 1 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 é a indicadora de 0 ≤ y ≤ x ≤ 1

Note que essa integral será zero para todo par x , y   fora do conjunto 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 . Com isso em mento nosso domínio de integração fica da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ y 1   k x y 2 d x d y   =   1

Passo 3

Agora podemos resolver essa integral. Lembrando que, a integral imprópria de um monômio de grau n é dada por x n + 1 n + 1

∫ 0 1 ∫ y 1   k x y 2 d x d y   =   ∫ 0 1 k x 2 2 ⋅ y 2   ​ x = y x = 1   d y

=   ∫ 0 1 k 1 2 2 ⋅ y 2   -   k y 2 2 ⋅ y 2   d y

=   ∫ 0 1 k 2 ⋅ y 2   -   k y 4 2 d y

(pela linearidade da integral)

=   ∫ 0 1 k 2 ⋅ y 2 d y   -   ∫ 0 1 k y 4 2 d y

= k 2 ⋅ y 3 3 ​ y = 0 y = 1   - k y 5 2 ⋅ 5 ​ y = 0 y = 1

= k ⋅ 1 15

Como ∫ 0 1 ∫ y 1   k x y 2 d x d y   =   1 temos que k   =   15  

Resposta

15  

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