Sejam X e Y e v.a.’s contínuas com densidade conjunta expressa por:

f x , y = 3 x ² y 3 ,       p a r a   0 ≤ x ≤ y ≤ 1

Pede-se:

  1. Densidade marginal de X e Y .
  2. X e Y são independentes? Por que? Justifique.

Passo 1

a)

A função de densidade marginal é dada por:

f x x = ∫ - ∞ + ∞ f ( x , y ) d y  

f y y = ∫ - ∞ + ∞ f ( x , y ) d x

Calculando primeiramente a marginal de X :

f x x = ∫ 0 1 3 x 2 y 3 d y = ∫ 0 1 3 x 2 y - 3 d y = 3 x 2 y - 2 - 2 0 1 = - 3 x 2 2

E agora a de Y :

f y y = ∫ 0 1 3 x 2 y 3 d x = 3 x 2 3 y ³ 0 1 = 1 y 3

Passo 2

b)

Para duas v.a.’s serem independentes, vimos que essa relação tem que ser verdadeira:

f x , y = f x ( x ) × f y ( y )

E o produto das nossas marginais dá...

- 3 x 2 2 × x = - 3 x 3 2

O que é diferente da função de densidade conjunta!

- 3 x 3 2 ≠ f x , y = 3 x ² y 3

Então nossas v.a.’s não são independentes.

Resposta

a)

f x x = - 3 x 2 2

f y y = 1 y 3

b)

Não são independentes.

Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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