Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com função de probabilidade conjunta , para , e .

Pede-se:

1. Calcular o valor da constante “ e apresentar a função de probabilidade conjunta em termos de e .
2. A função de probabilidade condicional de dado .

a)

Sabemos que para uma função ser considerada função de densidade de probabilidade, a integral dela de menos a mais infinito tem que dar um. Nesse caso, como estamos trabalhando com v.a.’s discretas, nossa integral é simplesmente um somatório! Então:

Esses limites dos somatórios são dados no próprio enunciado, quando é dito pra gente que pode ir de a infinito, e pode ir de a . Abrindo o segundo somatório e separando os termos, temos:

Mas como se livrar desse outro somatório? Podemos lembrar do que é uma série geométrica e como ela pode ser escrita:

Então vamos tentar escrever nosso somatório nesse formato! A única coisa que falta é ele começar em , ao invés de . Para isso, basta mudarmos o índice e subtrairmos o que seria o termo de índice e índice , para mantermos a igualdade. Não sacou? Se liga:

Dessa forma, nós “descontamos” os termos que foram adicionados quando mudamos o índice e tudo permanece como antes! Substituir isso aí na expressão com os somatórios da função de densidade:

E lembrando do bizu da série geométrica, podemos substituir:

É como se nosso valesse nesse caso. Voltando a expressão da função de densidade, substituindo isso aí no lugar do somatório que faltava:

Agora chegamos em algo mais bonitinho, concorda? Vamos igualar isso aí a , já que é isso que precisamos para a função ser considerada de densidade:

Agora isolamos o para descobrir quanto ele vale em função de e :

Rearrumando:

E enfim achamos o valor que precisa ter para ser função de densidade! =)