Probabilidade Conjunta
- Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
- Encontre a densidade marginal de e de .
- Encontre a densidade condicional de dado .
- e são independentes? Por quê? Justifique.
Passo 1
(a)
Pra calcular a constante é só integrar e igualar a que é a condição para ser uma função de probabilidade.
Mas integrar isso é muito difícil, então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.
A gente sabe que:
Passo 2
Aplicando isso que a gente viu no caso:
Juntando tudo teremos:
E isso tem que ser igual a :
Note que, assim, teremos
Passo 3
(b)
Para a densidade marginal de :
Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.
Passo 4
Já para a densidade de :
Passo 5
(c)
A prob. condicional que a gente quer é:
A gente já tem os dois dados que a gente precisa:
E:
Passo 6
Agora só aplicar:
Cortando ali o que pode:
Passo 7
(d)
Pras variáveis serem independentes elas têm que verificar a seguinte condição:
que é igual a função inicialmente dada. Isso significa que as variáveis são independentes.
Resposta
são independentes