Suponha e dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta para , e . Mostre como encontrar:
- O valor de , em função de e , para que seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
- A marginal de e de e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
- Podemos afirmar que e são independentes? Justifique sua resposta.
Passo 1
Para uma função ser de distribuição conjunta deve ser:
Vamos usar essa segunda ideia aí para determinar nossa constante.
Só que como estamos com v.a.’s discretas, não faz sentido integrar, então teremos:
Passo 2
Lembra aquele macete que eu passei sobre séries geométricas e como calcular o somatório delas?
Vai ser importante agora;
Se aplicarmos isso para os dois casos que temos, vamos ficar com:
Passo 3
Para o outro somatório, fica ainda mais fácil:
Agora só voltar para a ideia do resultado dos somatórios ser .
Passo 4
(b)
Nossa função conjunta é:
Para calcular as marginais e Vamos fazer assim:
Cortando as coisas aí...
Passo 5
Fazendo a mesma ideia para a marginal de .
Cortando as coisas aí...
Se você notar direitinho, essas duas funções marginais se assemelham a função de probabilidade da distribuição geométrica.
Passo 6
(c)
Pra fechar com chave de ouro, pra ser independente a gente tem que verificar se a afirmativa abaixo é verdadeira:
Verificando:
Vamos ver:
Sucesssoo! As variáveis são independentes! =)