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Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

TAREFA da aula – 7 – Probabilidade e Estatística (ENG1029) – 2020/2 – Questão 3

Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

f x , y = k ⋅ y ⋅ e - y ² 3 x   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

a) Calcule o valor da constante k para que f ( x , y ) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y . Apresente a função conjunta.

b) Ache a média e a variância condicional de X dado que Y = y .

c) X e Y são independentes? Por quê? Justifique.

Passo 1

a) Bom! Vamos começar!

Para isso aí ser função de densidade, temos que garantir que a integral dupla da função em todo o seu domínio dê 1 , e temos que garantir que a função seja sempre maior ou igual a zero também.

Para f ( x ,   y ) ≥ 0 , basta termos k ≥ 0 , já que...

y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora vamos partir pro cálculo da integral.

∫ 0 ∞ ∫ 0 1 k y e - y ² 3 x d x d y = 1

Vamos resolver a integral separadamente. Primeiro a que está em relação a x :

∫ 0 1 k y e - y ² 3 x d x = ∫ 0 1 k y e - y 2 3 x - 1 2   d x = 2 k y e - y ² x 1 / 2 3 0 1 = 2 k y e - y ² 3

Agora resolvemos a integral de fora:

∫ 0 ∞ 2 k y e - y ² 3 d y

Fazendo uma substituição simples u = - y ² , vamos ter

d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u

Fazendo uma substituição simples u = - y ² , vamos ter

d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u

Substituindo esses valores na integral...

∫ 0 ∞ 2 k e u 3 - 1 2 d u = ∫ 0 ∞ - k e u 3 d u = - k e u 3 0 ∞

Substituindo de novo...

- k e u 3 0 ∞ = - k e - y ² 3 0 ∞ = 0 - - k 3 = k 3

Resolvemos nossa integral! E como vimos, ela tem que ser igual a 1 . Então...

k 3 = 1

k = 3

Passo 3

E pra achar a função de probabilidade conjunta, é só resolver a seguinte integral...

∫ 0 y ∫ 0 1 k y e - y ² 3 x d x d y

Aproveitando os cálculos que já fizemos antes...

∫ 0 y ∫ 0 1 k y e - y 2 3 x d x d y = ∫ 0 y 2 k y e - y 2 x 1 2 3 0 x d y = ∫ 0 y 2 k y e - y 2 x 1 2 3 d y =

= x 1 2 ⋅ - k e - y 2 3 0 y   = x 1 2 ⋅ - k e - y 2 3 - - k e 0 3 = x 1 2 ⋅ - k e - y 2 3 + k 3 =

= - k x ( e - y 2 - 1 ) 3

Logo, temos que...

F x , y = - k x ( e - y 2 - 1 ) 3 ,   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1  

Escrevendo em todo o domínio, a função fica assim...

F x , y = 0 ,     c o m   y ≤ 0   e   x ≤ 0         - k x e - y 2 - 1 3 ,   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1  

Passo 4

b) A próxima coisa a se fazer agora, é achar a média e a variância condicional de X dado que Y = y .

Ora bolas! Isso é de boas!

Mentira! Vai dar um trabalhinho danado, hein!?

Lembrando a fórmula da média condicional:

E X Y = y = ∫ - ∞ + ∞ x f x y d x

Bom! Primeiro, precisamos da densidade condicional, que é dada por:

f x y = f x , y f y y

Calculemos então, a marginal de y . Lembrando a fórmula da distribuição marginal:

f y y = ∫ - ∞ + ∞ f x , y d x

Vamos calcular a marginal primeiramente, indo de zero a um porque esse é o domínio de x :

f y y = ∫ 0 1 k y e - y ² 3 x d x = ∫ 0 1 k y e - y 2 3 x - 1 2   d x = 2 k y e - y ² x 1 / 2 3 0 1 = 2 k y e - y ² 3

Então a condicional de X dado Y = y fica:

f x y = f x , y f y y = k y e - y ² 3 x 2 k y e - y ² 3 = 1 x 2 = 1 2 x

Passo 5

Agora, é só substituir na fórmula de E X Y = y !

Como 0 ≤ x ≤ 1 :

E X Y = y = ∫ 0 1 x 1 2 x d x = ∫ 0 1 x 1 2 2 d x = 1 2 ⋅ 2 x 3 2 3 0 1 = 1 3

Em seguida, vamos calcular a variância condicional, dada por...

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2 = ∫ 0 1 x 2 f x y d x - 2 3 2 =

= ∫ 0 1 x 2 1 2 x d x - 2 3 2 = ∫ 0 1 x 3 2 2 d x - 2 3 2 =

= 1 2 ⋅ 2 x 5 2 5 0 1 - 2 3 2 = 1 5 - 4 9 = 9 - 20 45 = - 11 45

Passo 6

c) Por último falta ver se X e Y são independentes.

Para provar que X e Y são independentes, podemos lembrar de que a seguinte relação tem que ser verdadeira para haver independência:

f x , y = f x x ⋅ f y ( y )

Nesse caso teríamos que calcular a marginal de X , multiplicar pela marginal de Y que já calculamos e ver se o resultado era igual à função de probabilidade conjunta f ( x ,   y ) .

Calculando a marginal de X :

f x x = ∫ 0 ∞ k y e - y ² 3 x d y

Fazendo t = - y 2 :

t = - y 2

d t = - 2 y d y

y d y = - d t 2

E os limites ficam assim...

P a r a   y = 0 → t = 0

P a r a   y = ∞ → t = - ∞

Substituindo...

f x x = ∫ 0 ∞ k y e - y ² 3 x d y = ∫ 0 - ∞ - k e t 3 x d t 2 = - k 6 x ∫ 0 - ∞ e t d t = - k 6 x e t 0 - ∞ =

= - k 6 x 0 - 1 = k 6 x

Agora verificamos a igualdade da relação:

f x , y = f x x ⋅ f y y →   ? ? ? ? ? ? ?

k y e - y ² 3 x = k 6 x ⋅ 2 k y e - y ² 3

k y e - y ² 3 x = k 6 x ⋅ 2 k y e - y ² 3

k y e - y ² 3 x = k 3 ⋅ k y e - y 2 3 x

k y e - y ² 3 x = k 2 3 ⋅ y e - y 2 3 x →   k 2 3 = k

k y e - y ² 3 x = k y e - y 2 3 x   ( V e r d a d e i r o )

O fato da gente ter o k 2 ali não muda nada! É só uma constante assim como a constante que acompanha a função f ( x ,   y ) !

Então as v.a.’s são independentes!

Resposta

a)

k = 3

F x , y = 0 ,     c o m   y ≤ 0   e   x ≤ 0         - k x e - y 2 - 1 3 ,   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1  

b)

E X Y = y = 1 3

V a r X Y = y = - 11 45

c)

A s   v . a . ’ s   s ã o   i n d e p e n d e n t e s

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