- Determine a constante para que seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias e .
- Encontre a densidade marginal de e de .
- e são independentes? Por quê? Justifique.
Passo 1
(a)
Pra calcular a constante é só integrar e igualar a que é a condição para ser uma função de probabilidade.
Mas integrar isso não faz sentido (já que e são variáveis discretas, não assumem todos os valores e sim só inteiros), então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.
A gente sabe que:
Passo 2
Aplicando isso que a gente viu no caso:
Juntando tudo teremos:
E isso tem que ser igual a :
Passo 3
(b)
Para a densidade marginal de :
Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.
Passo 4
Já para a densidade de :
Passo 5
(c)
Pras variáveis serem independentes elas tem que verificar a seguinte condição:
Que é igual a função . Isso significa que as variáveis são independentes.