Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

A função de densidade de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias X , Y   é dada por:

A densidade condicional de X   dado Y   para 0 < x < 1     é:

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez estaremos utilizando densidade condicional. Vamos lembrar a definição.

f X | Y x   =   f x , y f Y y

Onde f Y y é a marginal de Y  

Passo 2

Primeiro vamos calcular a marginal de Y   .

f Y y   =   ∫ 0 y 2 x + y d x

Por que só vamos até y   no domínio de integração e não até 1   ? Lembre que temos que levar em consideração o domínio das variáveis. Temos que 0 < x < y < 1   , ou seja x   é sempre menor que y   . Por isso o limite de integração é de 0   a y   .

f Y y   =   ∫ 0 y 2 x + y d x

  ∫ 0 y 2 x + y d x   =   2 x 2 2   +   x y ​ x = 0 x = y

=   3 y 2

Passo 3

Usando a marginal calculada no passo anterior f Y y   =   3 y 2 . Vamos calcular a distribuição condicional de X | Y  

f X | Y x   =   f x , y f Y y

=   2 x + y 3 y 2

Resposta

=   2 x + y 3 y 2

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