Se
representa a “densidade populacional” de certo tipo de bactéria no plano , onde e são medidos em centímetros, encontre a população total de bactérias dentro do retângulo e .
Passo 1
Vamos pensar: se é a densidade populacional em termos de área, representa quantas bactéricas existem por centímetro quadrado em cada ponto . Então, para encontrar a quantidade de bactérias existente em uma área, precisamos integrar a função densidade nessa região, certo? Isso porque densidade vezes área é igual à quantidade de bactérias.
Temos o seguinte:
Onde é o retângulo e .
Passo 2
Vamos desmembrar a integral utilizando o Teorema de Fubini.
Note que o intervalo da integral de fora está de acordo com e o da de dentro, com . E se você quisesse integrar ao contrário? Sem problemas, basta o intervalo estar de acordo.
Passo 3
Agora você deve integrar em relação a ou seja, resolver a integral de dentro (tomando como constante).
Como é constante, podemos tirar da integral de dentro, ficando assim
Substituindo os limites de integração de ,
Resolvida a integral de dentro, seguimos para a segunda integral!
Passo 4
Resolvida a integral de dentro, seguimos para a segunda integral!
Devemos, então, integrar em relação a :
Tirando as constantes da integral
Agora, para essa integral que restou, temos que nos lembrar do seguinte:
Perceba que os limites da integral são . Ou seja, temos parte que e parte que , precisamos separar isso! Olha como fica
O sinal ficou trocado porque na primeira integral temos , enquanto na segunda temos .
Agora temos duas integrais em função de para resolver.
Passo 5
Vamos começar fazendo
Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor
Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de substituição simples.
Aqui, vamos fazer a seguinte substituição,
Derivando , fica assim
Assim, temos
Lembrando que , temos
Agora, olhando para os limites de integração,
Passo 6
Agora, vamos ver a outra integral
Vamos resolver primeiro sem os limites pra organizar melhor
Novamente, vamos utilizar a mesma técnica de integração, substituindo assim,
Assim
Assim, temos
Voltando para
Agora, olhando para os limites de integração
Passo 7
Voltando para a integral que tínhamos no final do Passo 4,
Vamos colocar o resultado