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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule

∬ R   x y 2 d A

na região R mostrada na figura abaixo,

Passo 1

Bem, vamos começar escrevendo essa região, ok? Para isso, vamos dividí-la em 3 partes:

Chamando o retângulo verde de R 1 , o amarelo de R 2 e o azul de R 3 , temos o seguinte:

∬ R   x y 2 d A = ∬ R 1   x y 2 d A + ∬ R 2   x y 2 d A + ∬ R 3   x y 2 d A

Passo 2

Agora, vamos encontrar os inter valos de cada integral.

Para o retângulo verde, temos:

- 2 ≤ x ≤ 2 ;             1 ≤ y ≤ 2

Para o amarelo:

- 2 ≤ x ≤ - 1 ;             0 ≤ y ≤ 1

Para o azul:

1 ≤ x ≤ 2 ;             0 ≤ y ≤ 1

Passo 3

Aplicando o Teorema de Fubini, temos:

∬ R   x y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ - 2 - 1 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ 1 2 x y 2 d x d y

Repare que a ordem dos intervalos está de acordo com a ordem dos diferenciais!

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de R 1 :

∬ R 1   x y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y 2 d x d y

∬ R 1   x y 2 d A = ∫ 1 2 x 2 2 y 2 x = - 2 x = 2 d y + ∫ 0 1 x 2 2 y 2 x = - 2 x = - 1 d y + ∫ 0 1 x 2 2 y 2 x = 1 x = 2 d y

∬ R 1   x y 2 d A = ∫ 1 2 x 2 2 y 2 x = - 2 x = 2 d y

∬ R 1   x y 2 d A = ∫ 1 2 y 2 2 - 2 d y

∬ R 1   x y 2 d A = 0

Passo 5

Calcular a integral de R 2 :

∬ R 2   x y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ - 2 - 1 x y 2 d x d y

∬ R 2   x y 2 d A = ∫ 0 1 x 2 2 y 2 x = - 2 x = - 1 d y

∬ R 2   x y 2 d A = ∫ 0 1 y 2 1 2 - 2 d y

∬ R 2   x y 2 d A = - 3 2 ∫ 0 1 y 2 d y

∬ R 2   x y 2 d A =   - 3 2 ( y 3 3 0 1 )

∬ R 2   x y 2 d A =   - 1 2

Passo 6

Calcular a integral de R 3 :

∬ R 3   x y 2 d A = ∫ 0 1 ∫ 1 2 x y 2 d x d y

∬ R 3   x y 2 d A = ∫ 0 1 x 2 2 y 2 x = 1 x = 2 d y

∬ R 3   x y 2 d A = ∫ 0 1 y 2 2 - 1 2 d y

∬ R 3   x y 2 d A = 3 2 ∫ 0 1 y 2 d y

∬ R 3   x y 2 d A = 3 2 ( y 3 3 0 1 )

∬ R 2   x y 2 d A =   1 2

Passo 7

Somar os resultados encontrados

∬ R   x y 2 d A = ∫ 1 2 ∫ - 2 2 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ - 2 - 1 x y 2 d x d y + ∫ 0 1 ∫ 1 2 x y 2 d x d y

∬ R   x y 2 d A = 0 - 1 2 + 1 2

∬ R   x y 2 d A = 0

Resposta

0

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