Calcule:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

Passo 1

Quando nós fazemos a integral de uma soma, a gente pode usar essa propriedade aqui:

∫ f x + g x d x = ∫ f x d x + ∫ g x d x

E isso também vale para as integrais duplas! Então, no nosso caso:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x d y + ∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Beleza, agora ficamos com duas integrais bem mais simples de calcular.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira:

∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x d x d y

A integral do sen ⁡ ( x ) é - c o s ⁡ ( x ) , então:

∫ π 2 π - cos ⁡ π - - cos ⁡ 0 d y = ∫ π 2 π - - 1 + ( 1 ) d y = ∫ π 2 π 2 d y

E agora é só integrar o d y :

2 ∫ π 2 π d y = 2 2 π - π = 2 π

Passo 3

Agora vamos para a segunda integral:

∫ π 2 π ∫ 0 π cos ⁡ y d x d y

Quando integramos em relação a x , o cos ⁡ y é uma constante, então vamos começar só integrando o d x quando vai de 0 até π .

∫ π 2 π cos ⁡ y π - 0 d y

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y

E a integral de c o s ⁡ ( y ) em relação a y é s e n ⁡ ( y ) :

π ∫ π 2 π cos ⁡ y d y = π sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π = π 0 - 0 = 0

Agora é só somar os resultados das duas integrais:

I = ∫ π 2 π ∫ 0 π sen ⁡ x + cos ⁡ y d x d y

I = 2 π + 0 = 2 π

Resposta

O valor da integral é 2 π .

Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados