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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

Calcule a integral dupla da função f x , y = x sen ⁡ y + y e x y sobre o retângulo R = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 1 , - π ≤ y ≤ π .

Passo 1

Bom, aqui a questão é bem direta né, precisamos calcular a integral dupla dessa função f x , y e o enunciado já nos deu os limites de integração.

Precisamos tomar cuidado aqui de aplicar os limites de x em d x e os de y em d y .

Como assim?

Olha só aqui, se quisermos integrar primeiro em x , ou seja d x d y , a integral fica assim

∫ - π π ∫ 0 1 f x , y d x d y

Viu que a integral de fora está com os limites de y e a integral de dentro com os limites de x , né?

Agora se quisermos integrar primeiro em y , com d y d x , como fica?

∫ 0 1 ∫ - π π f x , y d y d x

Passo 2

Vamos ver nessa questão aqui que é mais fácil integrar primeiro em x por causa desse termo y e x y , vamos fazer isso então:

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y

Vamos separar a integral em duas pra ficar mais fácil

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = ∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y + ∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

Passo 3

Olhando pra essa primeira integral

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y

Integrando em relação a x

∫ - π π x 2 2 sen ⁡ y 0 1 d y

= 1 2 ∫ - π π sen ⁡ y d y

Integrando em relação a y

1 2 - cos ⁡ y - π π

= - 1 2 - 1 - - 1 = 0

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y = 0

Passo 4

Vamos pra segunda agora

∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

Pra integrar isso aí vamos fazer uma substituição

u = x y

Derivando em relação a x

d u = y   d x

Vamos precisar substituir os limites também, olha só

x = 1 → u = 1 . y = y

x = 0 → u = 0 . y = 0

Voltando pra integral, olha como aparecem todos esses termos aí

∫ - π π ∫ 0 1 e x y ⏞ u y d x ⏟ d u d y

= ∫ - π π ∫ 0 y e u d u d y

Agora sim podemos integrar isso aí

∫ - π π e u 0 y d y

= ∫ - π π e y - e 0 d y

∫ - π π e y - 1 d y

Integrando em relação a y

e y - y - π π

= e π - π - e - π + π

= e π - e - π - 2 π

Passo 5

Por fim, juntando as duas integrais que calculamos

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = ∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y d x d y + ∫ - π π ∫ 0 1 y e x y d x d y

∫ - π π ∫ 0 1 x sen ⁡ y + y e x y d x d y = 0 + e π - e - π - 2 π

= e π - e - π - 2 π

Resposta

e π - e - π - 2 π

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