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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 6 - Integrais Duplas. Questão 1b.

1 - Calcule ∬ R f x , y d x d y , onde:

b) f x , y = 1 x + y e R é o retângulo x , y ∈ R 2 1 ≤ x ≤ 2 ,   1 ≤ y ≤ 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Imagine que estamos querendo calcular um volume de uma caixa com a base descrita por R e a tampa é descrita por uma função f = 1 x + y .

Como vamos fazer pra obter esse volume?? 🤔

Com o uso da integral dupla, podemos obter esse volume calculando o volume de f na região R .

O objetivo dessa questão é obter a integral dupla de f limitada pelo retângulo formado pela intersecção de 1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 2 .

Quando temos uma integral dupla definida, temos que colocar o valor final no limite superior e o valor inicial no limite inferior, por exemplo, x está variando de 1 a 2 , logo colocamos 2 no limite superior e 1 no limite inferior.

Montando nossa integral, vamos ter

∫ 1 2 ∫ 1 2 1 x + y d x d y

Bora calcular essa integral?

Passo 2

Primeiro integrando 1 x + y com relação a x , vamos obter

∫ 1 2 1 x + y d x

Como estamos integrando em relação a x , a variável y é considerada uma constante. Pelo teorema fundamental do cálculo temos

∫ 1 x + C d x = ln ⁡ x + C + C

Logo

∫ 1 2 1 x + y d x = ln ⁡ x + y x = 1 2

∫ 1 2 1 x + y d x = ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y

Agora temos a seguinte integral

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y d y

Como a integral de uma soma é igual a soma das integrais, temos

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y d y - ∫ 1 2 ln ⁡ 1 - y d y

Entendeu? 👀

Passo 3

Agora, para a integral de y vamos usar o método de substituição. Primeiro vamos obter a integral de ln ⁡ 2 + y . Esse método diz que substituindo 2 + y por u , temos

∫ ln ⁡ u d u

Dessa forma, vamos aplicar o método de integração por partes.

Este método é usado quando temos uma função composta como por exemplo o l n .

Se definirmos u = u e d v = ln ⁡ u

Com isso, nossa integral será

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u - ∫ 1 d u

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u - u

Substituindo u por 2 + y de volta e aplicando os limites de integração, temos

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y d y = 2 + y ln ⁡ 2 + y - 2 + y y = 1 2

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y d y = 4 ln ⁡ 4 - 4 - 3 ln ⁡ 3 - 3

Agora fazemos o mesmo para a integral de ln ⁡ 1 - y

∫ 1 2 ln ⁡ 1 - y d y

Perceba que se substituirmos u por 1 - y , vamos obter a mesma integral anterior, logo

∫ ln ⁡ u d u = u ln ⁡ u - u

∫ 1 2 ln ⁡ 1 - y d y = 1 + y ln ⁡ 1 + y - 1 + y y = 1 2

∫ 1 2 ln ⁡ 1 - y d y = 3 ln ⁡ 3 - 3 - 2 ln ⁡ 2 - 2

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Substituindo esses resultados na integral de ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y , temos

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y d y = 4 ln ⁡ 4 - 3 ln ⁡ 3 - 1 - 3 ln ⁡ 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y d y = 4 ln ⁡ 4 - 6 ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2

Podemos simplificar 4 ln ⁡ 4 aplicando a propriedade de logaritmo

ln ⁡ x C = C l n x

4 ln ⁡ 2 2 = 2 · 4 ln ⁡ 2 = 8 ln ⁡ 2

Aplicando no resultado, temos

∫ 1 2 ln ⁡ 2 + y - ln ⁡ 1 - y d y = 8 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3 + 2 ln ⁡ 2

∫ 1 2 ∫ 1 2 1 x + y d x d y = 10 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 1 2 ∫ 1 2 1 x + y d x d y = 10 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 3

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