UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 6 - Integrais Duplas. Questão 13.
13 – Prove que
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão, vamos calcular a integral dupla de onde em e os limites de integração vão se a .
Com base no resultado que vamos encontrar, vamos aplicar no limite onde tendo a e mostrar que o resultado tende a .
Parece complicado? 🤔
Como podemos começar nossos cálculos?
Podemos separar pelo método da separação de funções. Quando temos uma função de integração do tipo , podemos separar as integrais como
Aplicando isso à nossa integral, temos
Assim podemos ganhar mais tempo! Veja só.
Passo 2
A integral de pode ser calculada pelo método de integração polinomial, onde somamos na sua potência e dividimos a variável pelo resultado.
Aplicando os limites de integração
Como elevado a qualquer número é , então
Para vamos fazer o mesmo procedimento
Aplicando os limites de integração
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Multiplicando os resultados, vamos ter o resultado final da integral dupla.
Agora aplicamos esse resultado no limite
Substituindo por , temos
Quanto é ? E ? Perceba que quanto mais aumentamos o denominador, menor é o resultado, ou seja, quando tende ao infinito, a fração tende a um número tão pequeno que é quase , logo
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
