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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Décima lista – Questão 2e

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

e ) ∬ R y x 2 y 2 + 1 d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R y x 2 y 2 + 1 d A

E a região retangular:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

É descobrir qual a melhor ordem de integração! O integrando em y é pouco mais simples (pois temos no numerador do integrando uma função que se parece com a derivada do denominador), e os limites de integração são números, podemos usar

d A = d y   d x

Você pode tentar outra ordem e verificar que temos o mesmo resultado!

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Nossa integral é

∬ R y x 2 y 2 + 1 d A

Os limites de integração

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ y ≤ 1

E o diferencial de volume

d A = d y   d x

Agora vamos juntar

∫ 0 1 ∫ 0 1   y x 2 y 2 + 1   d y d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em y :

∫ 0 1 ∫ 0 1   y x 2 y 2 + 1   d y d x

u = x 2 y 2 + 1 → d u = 2 x 2 y   d y

Quando y = 0 ,   u = 1 . Quando y = 1 ,   u = x 2 + 1

= ∫ 0 1 1 2 x 2 ∫ 1 x 2 + 1 1 u d u d x   = ∫ 0 1 1 2 x 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x

Beleza? Agora vamos integrar em x :

∫ 0 1 1 2 x 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x

Usando integração por partes: escolhemos u a partir do LIATE (logaritmo, inversa trigonométrica, aritmética, trigonométrica, exponencial, nessa ordem!)

Beleza?

Vamos escolher

u = ln ⁡ ( x 2 + 1 ) ,   d u = 1 x 2 + 1 . 2 x

d v = 1 2 x 2 d x ,   v = - 1 2 x

A integração por partes é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Aplicando temos:

∫ 0 1 1 2 x 2 ln ⁡ x 2 + 1 d x = - 1 2 x ln ⁡ x 2 + 1 0 1 + ∫ 0 1 d x x 2 + 1

E por fim integrar a integral restante e aplicar os limites de integração

= - 1 2 x ln ⁡ x 2 + 1 0 1 + arctan ⁡ x 0 1 = 1 2 π 2 - ln ⁡ 2

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

1 2 π 2 - ln ��� 2

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Calcule a integral dupla. ∬ R s e n ( x + y ) d A ,R = x , y 0 ≤ x ≤ π 2 ,0 ≤ y ≤ π 2
Calcule a integral iterada. ∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 c o s x ) d x d y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in