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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 1 - 2022.1, Questão 4

Calcule as integrais iteradas

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y

As respostas contradizem o Teorema de Fubini?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular duas integrais:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y

A questão ainda nos pede para dize se as respostas das duas contradizem o Teorema de Fubini... Mas que teorema é esse??

Bom... Seja f x , y integrável no retângulo R x , y ∈ R 2 ; a ≤ x ≤ b ,     c ≤ y ≤ d . Suponhamos que as integrais:

∫ a b f x , y   d x ,   ∀ y ∈ c , d

E

∫ c d f x , y   d y ,   ∀ x ∈ a , b

Então

∫ c d ∫ a b f x , y d x   d y = ∫ c d ∫ a b f x , y d x   d y = ∫ a b ∫ c d f x , y d y   d x

Ou seja, não importa a ordem de resolução das integrais, o resultado será sempre o mesmo!

Mas para essa questão nossa aqui, será se os resultados serão iguais para as duas integrais??

Ficou curioso?? Então vamos juntos haha!!

😉

Passo 2

Vamos começar aqui por essa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x ∴

∫ 0 1 α d x ∴

Onde α = ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y . Logo, expandindo α :

α = ∫ 0 1 x x + y 3 d y - ∫ 0 1 y x + y 3 d y ∴

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 1 x x + y 3 d y

Fazendo u = x + y ∴ d u = d y . Temos, aplicando a substituição:

∫ 0 1 x x + y 3 d y = x ∫ 0 1 1 u 3 d u

∫ 0 1 x x + y 3 d y = 1 - 2 x + y 2 1 0 ∴

∫ 0 1 x x + y 3 d y = 2 x + 1 2 x x + 1 2

Agora vamos resolver a segunda integral de α !!

Passo 3

Resolvendo a segunda integral de α , temos:

∫ 0 1 y x + y 3 d y

Podemos fazer a integração por partes, onde:

u = y ∴ d u = d y

E

d v = 1 x + y 3 d y ∴

∫ d v = ∫ 1 x + y 3 d y ∴

v = ∫ 1 w 3 d w

Onde w = x + y ∴ d w = d y . Assim, fazendo a substituição, encontramos:

v = - 1 2 x + y 2

Dessa forma, aplicando na integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ∴

∫ 0 1 y x + y 3 d y = y * - 1 2 x + y 2 1 0 - ∫ 0 1 - 1 2 x + y 2 d y ∴

∫ 0 1 y x + y 3 d y = - 1 2 x 2 - - 1 2 x + y 2 - 1 2 x + y 1 0 ∴

∫ 0 1 y x + y 3 d y = 1 2 x x + 1 2

Nesse sentido, substituindo em α , encontramos:

α = 2 x + 1 2 x x + 1 2 - 1 2 x x + 1 2 ∴

α = 2 x + 1 - 1 2 x x + 1 2 ∴

α = 1 x + 1 2

Agora vamos substituir α na integral!!

Passo 4

Substituindo α e resolvendo, temos:

∫ 0 1 α d x = ∫ 0 1 1 x + 1 2 d x ∴

Fazendo u = x + 1 ∴ d u = d x , fazemos a substituição:

∫ 0 1 1 x + 1 2 d x = ∫ 0 1 1 u 2 d u ∴

∫ 0 1 1 x + 1 2 d x = - 1 x + 1 1 0 ∴

∫ 0 1 1 x + 1 2 d x = 1 2

Ou, de forma geral, temos que:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x = 1 2

Agora vamos para a outra integral iterada!!

Passo 5

Vamos começar aqui por essa integral:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y ∴

∫ 0 1 β d y ∴

Onde β = ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x . Logo, expandindo α :

β = ∫ 0 1 x x + y 3 d x - ∫ 0 1 y x + y 3 d x ∴

Resolvendo a segunda integral (pois ela é mais simples hehe):

∫ 0 1 y x + y 3 d x

Fazendo u = x + y ∴ d u = d x . Temos, aplicando a substituição:

∫ 0 1 y x + y 3 d x = y ∫ 0 1 1 u 3 d u

∫ 0 1 y x + y 3 d x = 1 - 2 x + y 2 1 0 ∴

∫ 0 1 y x + y 3 d x = 2 y + 1 2 y y + 1 2

Agora vamos resolver a primeira integral de β !!

Passo 6

Resolvendo a segunda integral de β , temos:

∫ 0 1 x x + y 3 d x

Podemos fazer a integração por partes, onde:

u = x ∴ d u = d x

E

d v = 1 x + y 3 d x ∴

∫ d v = ∫ 1 x + y 3 d x ∴

v = ∫ 1 w 3 d w

Onde w = x + y ∴ d w = d x . Assim, fazendo a substituição, encontramos:

v = - 1 2 x + y 2

Dessa forma, aplicando na integração por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u ∴

∫ 0 1 x x + y 3 d x = x * - 1 2 x + y 2 1 0 - ∫ 0 1 - 1 2 x + y 2 d x ∴

∫ 0 1 x x + y 3 d y = - 1 2 y 2 - - 1 2 y y + 1 ∴

∫ 0 1 x x + y 3 d y = 1 2 y y + 1 2

Nesse sentido, substituindo em β , encontramos:

β = 1 2 y y + 1 2 - 2 y + 1 2 y y + 1 2 ∴

β = 1 - 2 y + 1 2 y y + 1 2 ∴

β = - 1 y + 1 2

Agora vamos substituir β na integral!!

Passo 7

Substituindo β e resolvendo, temos:

∫ 0 1 β d y = ∫ 0 1 - 1 y + 1 2 d y ∴

Fazendo u = y + 1 ∴ d u = d y , fazemos a substituição:

∫ 0 1 - 1 y + 1 2 d y = ∫ 0 1 1 u 2 d u ∴

∫ 0 1 - 1 y + 1 2 d y = - 1 2

Ou, de forma geral, temos que:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y = - 1 2

Eita!! O resultado deu diferente!!

Passo 8

Vamos relembrar aqui as respostas que encontramos:

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x = 1 2

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y = - 1 2

O resultado das duas deu diferente porque a função que foi integrada x - y x + y 3 tem uma descontinuidade no ponto 0,0 , sendo não limitada no seu retângulo R = 0,1 × 0,1 , pois x - y x + y 3 diverge para ∞ no ponto 0,0 .

Dessa forma, isso viola as condições do Teorema de Fubini e, portanto, não podemos aplicá-lo nessa situação.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d y   d x = 1 2

E

∫ 0 1 ∫ 0 1 x - y x + y 3 d x   d y = - 1 2

O Teorema de Fubini não se aplica

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Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in