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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 6 - Integrais Duplas. Questão 14.

14 – Calcule a integral dupla

lim n → + ∞ ⁡ ∫ ∫ R 1 1 + x 2 + y 2 d x d y

Onde R = x , y ∈ R 2 x 2 + y 2 = 1 a 2 e mostre que

lim a → + ∞ ⁡ I a = 0

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Se temos x 2 + y 2 em algum lugar do problema, é quase certo que temos que usar coordenadas polares.

Vamos verificar nossa região R é polar.

Foi dito que R = x 2 + y 2 ≤ 1 a 2 , ou seja, uma circunferência de raio 1 / a !

Bingo!! Vamos converter nossos valores de x e y para coordenadas polares!

Lembra como fazemos?

Temos que substituir x por r c o s θ e y por r s e n θ . Lembrando que x 2 + y 2 = r ² e r é nosso jacobiano, logo nossa integral é

∫ ∫ R 1 1 + r 2 r d r d θ

Agora resta obtermos os limites de integração, correto? 😁

Bora lá!

Passo 2

Como R é um círculo de raio 1 / a e centrada na origem, logo nossos limites de integração em r é 0 e 1 / a e em θ é de 0 a 2 π . Ou seja

∫ 0 2 π ∫ 0 1 a r 1 + r 2 d r d θ

Pelo método de substituição u = 1 + r 2 e d u d r = 2 r → r d r = d u 2 , logo

∫ r 1 + r 2 d r = ∫ 1 2 u d u

∫ 1 2 u d u = 1 2 ln ⁡ u

Substituindo u por 1 + r 2 de volta, temos

∫ r 1 + r 2 d r = 1 2 ln ⁡ 1 + r 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 a r 1 + r 2 d r = 1 2 ln ⁡ 1 + 1 a 2 - 1 2 ln ⁡ 1 + 0 2

∫ 0 1 a r 1 + r 2 d r = 1 2 ln ⁡ 1 + 1 a 2

Agora integramos com relação a θ , mas como nossa nova função de integração não depende de θ , logo sua integral é a própria função multiplicada pela variável de integração θ .

∫ 1 2 ln ⁡ 1 + 1 a 2 d θ = 1 2 θ ln ⁡ 1 + 1 a 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 1 2 ln ⁡ 1 + 1 a 2 d θ = 1 2 2 π ln ⁡ 1 + 1 a 2 - 1 2 0 ln ⁡ 1 + 1 a 2

∫ 0 2 π 1 2 ln ⁡ 1 + 1 a 2 d θ = π ln ⁡ 1 + 1 a 2

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Por fim, aplicamos esse resultado no limite de I a quando a tende ao infinito.

lim a → + ∞ ⁡ I a

lim a → + ∞ ⁡ π ln ⁡ 1 + 1 a 2

Quanto é 1 / 10 ? E 1 / 10000 ? E 1 / 1 · 10 80 ? Percebe que quanto maior é o denominador de 1 a 2 , menor é o resultado da fração? Ou seja, se a tende ao infinito, 1 / a 2 tende a um numero muuuuuuito pequeno, ou seja, tende a 0 ! Com isso temos

π ln ⁡ 1 + 0

π ln ⁡ 1

E qual é o valor de ln ⁡ 1 ? 0 , não é?

Então

lim a → + ∞ ⁡ π ln ⁡ 1 + 1 a 2 = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim a → + ∞ ⁡ π ln ⁡ 1 + 1 a 2 = 0

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