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Exercícios Resolvidos de Região Retangular e Teorema de Fubini

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Enunciado

UFPE – Cálculo 2 – Listas Prof. Ricardo F. da Silva – Décima lista – Questão 2a

Calcule a integral dupla sobre a região R dada.

a ) ∬ R x y   s e n ( x 2 ) d A ,   R = x , y ∈ R 2 ; 0 ≤ x ≤ π 2 ,   0 ≤ y ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Vou te ajudar a resolver essa questão! Vamos lá?

O problema nos deu essa integral dupla

∬ R x y   s e n ( x 2 ) d A

E a região retangular:

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ 1

E pediu para calcular isso! Mas qual é o pulo do gato?

É descobrir qual a melhor ordem de integração! O integrando em y é pouco mais simples, e os limites de integração são números, podemos usar

d A = d y   d x

Você pode tentar outra ordem e verificar que temos o mesmo resultado!

Beleza? Agora é só montar a integral e #partiu resolver!

Mas relaxa, vou fazer junto com você!

Passo 2

Agora vamos montar a integral! Nossa integral é

∬ R x y   s e n ( x 2 ) d A

Os limites de integração

0 ≤ x ≤ π 2

0 ≤ y ≤ 1

E o diferencial de volume

d A = d y   d x

Agora vamos juntar

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 x y   s e n x 2 d y d x

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora é #partiu resolver, primeiro em y :

∫ 0 π 2 ∫ 0 1 x y   s e n x 2 d y d x

= ∫ 0 π 2 x s e n x 2 y 2 2 0 1 d x   = ∫ 0 π 2   1 2 x   s e n ( x 2 )   d x

Beleza? Agora vamos integrar em x :

1 2 ∫ 0 π 2   x   s e n ( x 2 )   d x

Usando substituição simples

u = x 2 → d u = 2 x d x → x d x = d u 2

x = 0 → u = 0 , quando x = π 2 → u = π 2 . Tranquilo?

Vamos substituir e ficar com uma integral simples em u :

= 1 2 ∫ 0 π / 2 s e n u d u 2   = 1 4 - cos ⁡ u 0 π 2

E por fim aplicar os limites de integração

= 1 4 - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 = 1 4

Pronto! Essa é nossa resposta!

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

1 4

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Calcule a integral dupla. ∬ R s e n ( x + y ) d A ,R = x , y 0 ≤ x ≤ π 2 ,0 ≤ y ≤ π 2
Calcule a integral iterada. ∫ - 3 3 ∫ 0 π / 2 ( y + y 2 c o s x ) d x d y
Calcule a integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y
Utilize um sistema de computação algébrica para determinar o valor exato da integral ∬ Rx 5 y 3 e x y d A onde R = 0 ,1 × 0 ,1 . Em seguida, use o SCA para desenhar o sólido cujo volume é dado pela in